5e · Nombres et calculs · Chapitre 1

Opérations, puissances

Exercices corrigés — priorités opératoires, vocabulaire, puissances, multiples et diviseurs, critères de divisibilité.
Ex. 1 — Priorités Ex. 2 — Nommer un calcul Ex. 3 — Puissances Ex. 4 — Multiples / diviseurs Ex. 5 — Division euclidienne Ex. 6 — Critères de divisibilité
Chaque exercice peut être corrigé pas à pas en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Priorités opératoires

Calculer chacune des expressions suivantes en détaillant les étapes.

  1. \( A = 8 + 5 \times 6 \)
  2. \( B = (8 + 5) \times 6 \)
  3. \( C = 20 - 12 \div 4 + 3 \)
  4. \( D = 4 \times (7 - 2) \times 3 \)

a. On effectue la multiplication en premier.

\[ A = 8 + \underbrace{5\times 6}_{=\,30} = 8+30 = 38 \]

b. La parenthèse impose de calculer $8+5$ en premier.

\[ B = \underbrace{(8+5)}_{=\,13} \times 6 = 13\times 6 = 78 \]

c. La division est prioritaire sur l'addition et la soustraction.

\[ C = 20 - \underbrace{12\div 4}_{=\,3} + 3 = 20 - 3 + 3 = 20 \]

d. Deux parenthèses successives : on calcule $7-2$, puis on multiplie de gauche à droite.

\[ D = 4\times \underbrace{(7-2)}_{=\,5} \times 3 = 4\times 5\times 3 = 20\times 3 = 60 \]
Exercice 2
Nommer un calcul

Pour chaque expression, indiquer s'il s'agit d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient, puis préciser ses termes ou ses facteurs.

  1. \( E = 6 \times 9 \)
  2. \( F = 15 + 2\times 4 \)
  3. \( G = (15+2)\times 4 \)
  4. \( H = 18 \div 3 \)

a. Une seule opération : c'est un produit de facteurs $6$ et $9$.

b. La dernière opération effectuée (compte tenu des priorités) est une addition : $F$ est une somme de termes $15$ et $2\times 4$.

c. La parenthèse impose que la dernière opération soit une multiplication : $G$ est un produit de facteurs $(15+2)$ et $4$.

d. Une seule opération : $H$ est un quotient.

Exercice 3
Puissances
  1. Écrire $9\times 9$ sous la forme d'une puissance, puis calculer sa valeur.
  2. Écrire $5\times 5\times 5$ sous la forme d'une puissance, puis calculer sa valeur.
  3. Calculer \( K = 4 + 2^3 \times 5 \).
  4. Calculer \( L = (3+4)^2 - 1 \).

a.

\[ 9\times 9 = 9^2 = 81 \]

b.

\[ 5\times 5\times 5 = 5^3 = 125 \]

c. La puissance se calcule avant la multiplication et l'addition.

\[ K = 4 + \underbrace{2^3}_{=\,8} \times 5 = 4 + 8\times 5 = 4+40 = 44 \]

d. La parenthèse d'abord, puis le carré, puis la soustraction.

\[ L = \underbrace{(3+4)}_{=\,7}^{\,2} - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48 \]
Exercice 4
Multiples et diviseurs
  1. Citer trois multiples de $6$.
  2. $45$ est-il un multiple de $9$ ? Justifier.
  3. Trouver tous les diviseurs de $24$.
  4. $7$ est-il un diviseur de $52$ ? Justifier.

a. Il suffit de multiplier $6$ par des entiers.

\[ 6\times 1 = 6 \qquad 6\times 2 = 12 \qquad 6\times 3 = 18 \]

$6$, $12$ et $18$ sont des multiples de $6$ (il en existe une infinité d'autres).

b. On cherche un entier $k$ tel que $45 = 9\times k$.

\[ 45 = 9\times 5 \]

Oui, $45$ est un multiple de $9$ car $9\times 5 = 45$.

c. On teste les tables de multiplication qui donnent $24$.

\[ 24 = 1\times 24 = 2\times 12 = 3\times 8 = 4\times 6 \]

Les diviseurs de $24$ sont donc : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ et $24$.

d. On effectue la division euclidienne de $52$ par $7$.

\[ 52 = 7\times 7 + 3 \]

Le reste n'est pas nul ($3 \ne 0$), donc $7$ n'est pas un diviseur de $52$.

Exercice 5
Division euclidienne

Un pâtissier dispose de $95$ macarons. Il souhaite les ranger dans des boîtes de $8$ macarons.

  1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $95$ par $8$.
  2. Combien de boîtes complètes le pâtissier peut-il remplir ? Combien de macarons resteront isolés ?

a. On cherche $q$ et $r$ tels que $95 = 8\times q + r$ avec $0\leqslant r < 8$.

\[ 95 = 8\times 11 + 7 \]

Le quotient est $q=11$ et le reste est $r=7$.

b.

Le pâtissier peut remplir 11 boîtes complètes, et il restera 7 macarons isolés (puisque $7 < 8$, ils ne suffisent pas pour une boîte de plus).

Exercice 6
Critères de divisibilité

On donne les nombres suivants : $315$ ; $402$ ; $540$ ; $721$.

  1. Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par $2$ ?
  2. Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par $5$ ?
  3. Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par $3$ ? par $9$ ?
  4. Le nombre $540$ est-il divisible par $10$ ?

a. Un nombre est divisible par $2$ s'il se termine par $0,2,4,6$ ou $8$.

$402$ (termine par $2$) et $540$ (termine par $0$) sont divisibles par $2$.

b. Un nombre est divisible par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$.

$315$ (termine par $5$) et $540$ (termine par $0$) sont divisibles par $5$.

c. On additionne les chiffres de chaque nombre.

NombreSomme des chiffresDivisible par 3 ?Divisible par 9 ?
315$3+1+5=9$ouioui
402$4+0+2=6$ouinon
540$5+4+0=9$ouioui
721$7+2+1=10$nonnon

d. Un nombre est divisible par $10$ s'il se termine par $0$.

Oui, $540$ se termine par $0$, donc il est divisible par $10$ (et donc aussi par $2$ et par $5$).