Les transformations du plan

1. L'axe est la médiatrice de $[MM']$ : c'est la définition d'une symétrie axiale.

La transformation est la symétrie axiale d'axe $(d)$.

2. Le centre est le milieu de $[MM']$ : c'est la définition d'une symétrie centrale.

La transformation est la symétrie centrale de centre $O$.

3. Le quadrilatère $MABM'$ est un parallélogramme : c'est la définition d'une translation.

La transformation est la translation qui transforme $A$ en $B$.

4. On conserve la distance au point $O$ et l'angle est donné : c'est une rotation.

La transformation est la rotation de centre $O$, d'angle $60°$, dans le sens horaire.

1. La symétrie d'axe $(Ox)$ laisse l'abscisse inchangée et change le signe de l'ordonnée.

L'abscisse de $M$ reste égale à $3$, et son ordonnée passe de $2$ à $-2$. L'image de $M$ par la symétrie d'axe $(Ox)$ a donc pour coordonnées $(3\,;-2)$.

2. La symétrie d'axe $(Oy)$ laisse l'ordonnée inchangée et change le signe de l'abscisse.

L'ordonnée de $M$ reste égale à $2$, et son abscisse passe de $3$ à $-3$. L'image de $M$ par la symétrie d'axe $(Oy)$ a donc pour coordonnées $(-3\,;2)$.

1. Par définition de la symétrie centrale, le centre est le milieu du segment.

Le point $O$ est le milieu du segment $[AA']$.

2. On utilise le fait que $O$ est le milieu de $[AA']$ pour retrouver $A'$.

Pour passer de $A$ à $O$, on ajoute $3$ à l'abscisse (de $1$ à $4$) et $2$ à l'ordonnée (de $1$ à $3$). Comme $O$ est le milieu, on ajoute encore la même chose pour atteindre $A'$.

Le point $A'$ a donc pour coordonnées $(7\,;5)$.

1. On compare les coordonnées de $E$ et de $F$.

Pour passer de $E$ à $F$, l'abscisse augmente de $3$ (de $1$ à $4$) et l'ordonnée augmente de $4$ (de $2$ à $6$). Le déplacement est donc de $3$ vers la droite et de $4$ vers le haut.

2. On applique le même déplacement au point $M$.

L'image $M'$ a donc pour coordonnées $(5\,;5)$.

3. On utilise la définition d'une translation.

Par définition, la translation qui transforme $E$ en $F$ et qui transforme $M$ en $M'$ fait du quadrilatère $MEFM'$ un parallélogramme.

1. Un quart de tour antihoraire autour de l'origine échange les rôles des coordonnées.

Pour une rotation de $90°$ dans le sens antihoraire autour de l'origine, le point de coordonnées $(x\,;y)$ a pour image le point de coordonnées $(-y\,;x)$. En partant de $M(3\,;1)$, on obtient donc l'image $M'$ de coordonnées $(-1\,;3)$.

2. Une rotation conserve les distances au centre.

La rotation conserve les longueurs, et en particulier la distance au centre $O$. Les longueurs $OM$ et $OM'$ sont donc égales.

1. Le rapport $k=3$ est positif, donc les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^2$.

Le côté est multiplié par $3$.

L'aire est multipliée par $k^2$, c'est-à-dire par $9$.

Le côté image mesure donc $15$ cm et l'aire de $T_1$ est de $72$ cm².

2. Le rapport $k=-2$ est négatif, donc les longueurs sont multipliées par $|k|=2$ et les aires par $k^2=4$.

Le côté est multiplié par $2$.

L'aire est multipliée par $k^2$, c'est-à-dire par $4$.

Le côté image mesure donc $10$ cm et l'aire de $T_2$ est de $32$ cm². Comme le rapport est négatif, le triangle $T_2$ se trouve de l'autre côté du centre $O$.

1. Le rapport est le quotient d'une longueur image par la longueur de départ correspondante.

On divise la nouvelle largeur par l'ancienne.

Le rapport de l'agrandissement est donc $k=2{,}5$.

2. Les aires sont multipliées par $k^2$.

On calcule d'abord $k^2$, puis on multiplie l'aire de départ.

L'aire de la photographie agrandie est donc de $150$ cm².