On considère le triangle $ABC$ rectangle en $A$ représenté ci-dessous.
1. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Le triangle est rectangle en $A$, donc l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas l'angle droit. L'hypoténuse est donc le côté $[BC]$.
2. On se place par rapport à l'angle $\widehat{B}$.
Le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ est celui qui lui fait face, c'est-à-dire le côté $[AC]$. Le côté adjacent à l'angle $\widehat{B}$ est celui qui le forme avec l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté $[AB]$.
3. On se place par rapport à l'angle $\widehat{C}$.
Le côté opposé à l'angle $\widehat{C}$ est le côté $[AB]$, et le côté adjacent à l'angle $\widehat{C}$ est le côté $[AC]$. On remarque que les rôles de $[AB]$ et $[AC]$ sont échangés lorsqu'on change d'angle.
Le triangle $RST$ est rectangle en $R$. On donne $RS=3$ cm, $RT=4$ cm et $ST=5$ cm.
1. On repère les côtés par rapport à l'angle $\widehat{S}$.
Le côté opposé à l'angle $\widehat{S}$ est $[RT]$, le côté adjacent est $[RS]$, et l'hypoténuse est $[ST]$.
2. On applique les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente.
On retrouve bien que le cosinus et le sinus sont inférieurs à $1$, mais pas la tangente.
3. On utilise la touche inverse de la calculatrice à partir du cosinus.
On cherche l'angle dont le cosinus vaut $0{,}6$, à l'aide de la touche $\cos^{-1}$.
L'angle $\widehat{S}$ mesure donc environ $53°$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $\widehat{B}=35°$ et que l'hypoténuse $BC$ mesure $9$ cm.
1. Par rapport à $\widehat{B}$, $AB$ est le côté adjacent et $BC$ l'hypoténuse : on utilise le cosinus.
Par définition du cosinus, on a l'égalité $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$. On remplace, puis on isole $AB$.
À la calculatrice, on obtient une valeur approchée.
La longueur $AB$ est donc d'environ $7{,}37$ cm.
2. Par rapport à $\widehat{B}$, $AC$ est le côté opposé : on utilise le sinus.
Par définition du sinus, on a l'égalité $\sin(\widehat{B})=\dfrac{AC}{BC}$. On remplace, puis on isole $AC$.
La longueur $AC$ est donc d'environ $5{,}16$ cm.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $\widehat{B}=28°$ et que le côté $AB$ mesure $6$ cm.
1. Par rapport à $\widehat{B}$, $AC$ est le côté opposé et $AB$ le côté adjacent : on utilise la tangente.
Par définition de la tangente, on a l'égalité $\tan(\widehat{B})=\dfrac{AC}{AB}$. On remplace, puis on isole $AC$.
La longueur $AC$ est donc d'environ $3{,}19$ cm.
2. Par rapport à $\widehat{B}$, $AB$ est le côté adjacent et $BC$ l'hypoténuse : on utilise le cosinus.
Par définition du cosinus, on a l'égalité $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$. Ici, l'inconnue $BC$ est au dénominateur, donc on l'isole en divisant.
La longueur $BC$ est donc d'environ $6{,}80$ cm.
Dans les deux situations suivantes, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On cherche à chaque fois la mesure de l'angle $\widehat{B}$, arrondie au degré.
1. On connaît le côté adjacent $AB$ et l'hypoténuse $BC$ : on utilise le cosinus.
Par définition du cosinus, on calcule d'abord le rapport.
On cherche ensuite l'angle dont le cosinus vaut environ $0{,}571$, à l'aide de la touche $\cos^{-1}$.
Dans la première situation, l'angle $\widehat{B}$ mesure donc environ $55°$.
2. On connaît le côté adjacent $AB$ et le côté opposé $AC$ : on utilise la tangente.
Par définition de la tangente, on calcule d'abord le rapport.
On cherche ensuite l'angle dont la tangente vaut $1{,}6$, à l'aide de la touche $\tan^{-1}$.
Dans la seconde situation, l'angle $\widehat{B}$ mesure donc environ $58°$.
Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur le sol, à $1{,}2$ m du bas du mur. Le sol et le mur forment un angle droit.
1. Par rapport à l'angle $\alpha$, on connaît le côté adjacent (au sol) et l'hypoténuse (l'échelle) : on utilise le cosinus.
On cherche l'angle dont le cosinus vaut $0{,}3$, à l'aide de la touche $\cos^{-1}$.
L'échelle forme donc un angle d'environ $73°$ avec le sol.
2. La hauteur est le troisième côté du triangle rectangle : on peut utiliser le théorème de Pythagore.
On note $h$ la hauteur atteinte. Comme le triangle est rectangle, on a l'égalité $h^2 + 1{,}2^2 = 4^2$, d'où l'on tire $h$.
La hauteur atteinte par l'échelle sur le mur est donc d'environ $3{,}82$ m.
Un promeneur observe le sommet d'une tour. Il se trouve à $20$ m du pied de la tour, sur un sol horizontal. La ligne de visée vers le sommet fait un angle de $34°$ avec le sol.
1. Par rapport à l'angle de $34°$, la hauteur est le côté opposé et la distance au sol le côté adjacent : on utilise la tangente.
On note $h$ la hauteur de la tour. Par définition de la tangente, on a l'égalité $\tan(34°)=\dfrac{h}{20}$. On isole ensuite $h$.
La hauteur de la tour est donc d'environ $13{,}49$ m.
2. La distance au sommet est l'hypoténuse, et la distance au sol le côté adjacent : on utilise le cosinus.
On note $d$ la distance au sommet. Par définition du cosinus, on a l'égalité $\cos(34°)=\dfrac{20}{d}$. L'inconnue est au dénominateur, donc on l'isole en divisant.
Le promeneur est donc à environ $24{,}12$ m du sommet de la tour.