Troisième · Chapitre 10

Triangles semblables et théorème de Thalès

Exercices corrigés et approfondis — reconnaître des triangles semblables, calculer des longueurs avec le théorème de Thalès, démontrer un parallélisme avec sa réciproque, résoudre des problèmes concrets.
Ex. 1 — Triangles semblables Ex. 2 — Thalès (emboîtés) Ex. 3 — Thalès (papillon) Ex. 4 — Réciproque Ex. 5 — Coefficient Ex. 6 — Problème concret Ex. 7 — Démonstration
On associe toujours les côtés homologues (le plus petit avec le plus petit, etc.) avant de calculer un rapport. Pour appliquer la réciproque de Thalès, on vérifie l'alignement dans le même ordre puis l'égalité des deux rapports. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Triangles semblables

Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB=5$ cm, $BC=8$ cm et $AC=6{,}5$ cm. Le triangle $MNP$ a pour côtés $MN=10$ cm, $NP=16$ cm et $MP=13$ cm.

ABC 5 cm 8 cm 6,5 cm MNP 10 cm 16 cm 13 cm
  1. Ranger les côtés de chaque triangle dans l'ordre croissant, puis associer les côtés homologues.
  2. Les triangles $ABC$ et $MNP$ sont-ils semblables ? Justifier.
  3. Si c'est le cas, préciser le coefficient d'agrandissement qui permet de passer de $ABC$ à $MNP$.

1. On classe les côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand.

Pour le triangle $ABC$, les côtés rangés dans l'ordre croissant sont $AB=5$, $AC=6{,}5$ et $BC=8$.

Pour le triangle $MNP$, les côtés rangés dans l'ordre croissant sont $MN=10$, $MP=13$ et $NP=16$.

Les côtés homologues sont donc $AB$ et $MN$, puis $AC$ et $MP$, et enfin $BC$ et $NP$.

2. On calcule le rapport de chaque paire de côtés homologues.

\[ \frac{MN}{AB}=\frac{10}{5}=2 \qquad \frac{MP}{AC}=\frac{13}{6{,}5}=2 \qquad \frac{NP}{BC}=\frac{16}{8}=2 \]

Les trois rapports sont égaux, donc les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles. Par conséquent, les triangles $ABC$ et $MNP$ sont semblables.

3. On lit le rapport commun trouvé à la question précédente.

Le coefficient d'agrandissement qui transforme le triangle $ABC$ en le triangle $MNP$ est donc égal à $2$.

Exercice 2
Thalès — emboîtés

Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. La droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$. On donne $AM=3{,}5$ cm, $AB=5$ cm, $AN=4{,}2$ cm et $BC=7{,}5$ cm.

ABC MN AM = 3,5 BC = 7,5 cm
  1. Justifier que le théorème de Thalès s'applique, puis écrire l'égalité des rapports.
  2. Calculer la longueur $AC$.
  3. Calculer la longueur $MN$.

1. On vérifie les hypothèses du théorème de Thalès.

Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, les points $A$, $N$, $C$ sont alignés, et la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$. Le théorème de Thalès s'applique donc, et il donne l'égalité des rapports suivante.

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC} \]

2. On utilise l'égalité entre le premier et le deuxième rapport pour trouver $AC$.

On écrit l'égalité $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, c'est-à-dire $\dfrac{3{,}5}{5}=\dfrac{4{,}2}{AC}$.

\[ \begin{aligned} AC &= \frac{4{,}2\times 5}{3{,}5}\\[2pt] &= \frac{21}{3{,}5}\\[2pt] &= 6 \end{aligned} \]

La longueur $AC$ est donc égale à $6$ cm.

3. On utilise l'égalité entre le premier et le troisième rapport pour trouver $MN$.

On écrit l'égalité $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$, c'est-à-dire $\dfrac{3{,}5}{5}=\dfrac{MN}{7{,}5}$.

\[ \begin{aligned} MN &= \frac{3{,}5\times 7{,}5}{5}\\[2pt] &= \frac{26{,}25}{5}\\[2pt] &= 5{,}25 \end{aligned} \]

La longueur $MN$ est donc égale à $5{,}25$ cm.

Exercice 3
Thalès — papillon

Sur la figure ci-dessous, les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$. Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. On donne $AB=4$ cm, $AM=6$ cm, $AC=3$ cm et $BC=5$ cm.

BCA MN BC = 5 4 6 3
  1. Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès.
  2. Calculer la longueur $MN$.
  3. Calculer la longueur $AN$.

1. Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, donc le théorème de Thalès s'applique.

On obtient l'égalité des rapports suivante.

\[ \frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN} \]

2. On utilise l'égalité entre le premier et le troisième rapport pour trouver $MN$.

On écrit l'égalité $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{BC}{MN}$, c'est-à-dire $\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{MN}$.

\[ \begin{aligned} MN &= \frac{6\times 5}{4}\\[2pt] &= \frac{30}{4}\\[2pt] &= 7{,}5 \end{aligned} \]

La longueur $MN$ est donc égale à $7{,}5$ cm.

3. On utilise l'égalité entre le premier et le deuxième rapport pour trouver $AN$.

On écrit l'égalité $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}$, c'est-à-dire $\dfrac{4}{6}=\dfrac{3}{AN}$.

\[ \begin{aligned} AN &= \frac{6\times 3}{4}\\[2pt] &= \frac{18}{4}\\[2pt] &= 4{,}5 \end{aligned} \]

La longueur $AN$ est donc égale à $4{,}5$ cm.

Exercice 4
Réciproque de Thalès

Dans les deux situations suivantes, les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $A$, $N$, $C$. On souhaite savoir si la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$.

  1. Première situation. On donne $AM=4$ cm, $AB=6$ cm, $AN=6$ cm et $AC=9$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
  2. Seconde situation. On donne $AM=4$ cm, $AB=6$ cm, $AN=6$ cm et $AC=8$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

1. On calcule séparément les deux rapports de la première situation.

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \qquad\qquad \frac{AN}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \]

Les deux rapports sont égaux à $\dfrac{2}{3}$ et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont donc parallèles.

2. On calcule séparément les deux rapports de la seconde situation.

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}\approx 0{,}67 \qquad\qquad \frac{AN}{AC}=\frac{6}{8}=0{,}75 \]

Les deux rapports ne sont pas égaux. On ne peut donc pas appliquer la réciproque du théorème de Thalès, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exercice 5
Coefficient et longueurs

Le triangle $DEF$ est semblable au triangle $ABC$. On connaît les côtés du triangle $ABC$ : $AB=6$ cm, $BC=9$ cm et $CA=7{,}5$ cm. On sait de plus que le côté $DE$, homologue de $AB$, mesure $8$ cm.

  1. Calculer le coefficient d'agrandissement qui transforme $ABC$ en $DEF$.
  2. En déduire les longueurs $EF$ et $FD$.

1. Le coefficient est le rapport de deux côtés homologues.

On calcule le rapport du côté $DE$ sur son homologue $AB$.

\[ \begin{aligned} k &= \frac{DE}{AB}\\[2pt] &= \frac{8}{6}\\[2pt] &= \frac{4}{3} \end{aligned} \]

Le coefficient d'agrandissement est donc égal à $\dfrac{4}{3}$.

2. On multiplie chaque côté du triangle $ABC$ par le coefficient $k$.

Le côté $EF$ est l'homologue de $BC$, donc on multiplie $BC$ par $k$.

\[ \begin{aligned} EF &= 9\times\frac{4}{3}\\[2pt] &= 12 \end{aligned} \]

Le côté $FD$ est l'homologue de $CA$, donc on multiplie $CA$ par $k$.

\[ \begin{aligned} FD &= 7{,}5\times\frac{4}{3}\\[2pt] &= 10 \end{aligned} \]

Les longueurs cherchées sont donc $EF=12$ cm et $FD=10$ cm.

Exercice 6
Problème concret

Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on utilise son ombre. Au même instant, un piquet vertical de $1{,}2$ m projette une ombre de $0{,}9$ m, tandis que l'arbre projette une ombre de $7{,}5$ m. Les rayons du Soleil sont parallèles, donc le piquet et l'arbre forment deux triangles semblables avec leurs ombres.

hauteur = ? ombre 7,5 m 1,2 m 0,9 m
  1. Expliquer pourquoi les hauteurs et les ombres sont proportionnelles.
  2. Calculer la hauteur de l'arbre.

1. On utilise le fait que les rayons du Soleil sont parallèles.

Le piquet et l'arbre sont tous les deux verticaux, et les rayons du Soleil qui dessinent le sommet de chaque ombre sont parallèles. Le piquet et l'arbre forment donc deux triangles semblables avec le sol. Les hauteurs et les ombres correspondantes sont par conséquent proportionnelles.

2. On écrit l'égalité des rapports, puis on calcule la hauteur cherchée.

On note $h$ la hauteur de l'arbre. Le rapport de la hauteur sur l'ombre est le même pour l'arbre et pour le piquet, ce qui donne l'égalité $\dfrac{h}{7{,}5}=\dfrac{1{,}2}{0{,}9}$.

\[ \begin{aligned} h &= \frac{1{,}2\times 7{,}5}{0{,}9}\\[2pt] &= \frac{9}{0{,}9}\\[2pt] &= 10 \end{aligned} \]

La hauteur de l'arbre est donc de $10$ m.

Exercice 7
Démonstration

Sur la figure ci-dessous, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$. On donne $AM=2$ cm, $MB=3$ cm, $AN=2{,}8$ cm, $NC=4{,}2$ cm et $BC=10$ cm.

ABC MN 2 3 2,8 4,2 BC = 10 cm
  1. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
  2. Démontrer que la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$.
  3. En déduire la longueur $MN$.

1. Le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$, donc on additionne les morceaux.

La longueur $AB$ est la somme de $AM$ et de $MB$, c'est-à-dire $2+3$, soit $AB=5$ cm.

La longueur $AC$ est la somme de $AN$ et de $NC$, c'est-à-dire $2{,}8+4{,}2$, soit $AC=7$ cm.

2. On applique la réciproque du théorème de Thalès en calculant les deux rapports.

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}=0{,}4 \qquad\qquad \frac{AN}{AC}=\frac{2{,}8}{7}=0{,}4 \]

Les deux rapports sont égaux à $0{,}4$, et les points $A$, $M$, $B$ d'une part, $A$, $N$, $C$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, la droite $(MN)$ est donc parallèle à la droite $(BC)$.

3. Puisque $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, on applique le théorème de Thalès.

On utilise l'égalité $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$, c'est-à-dire $\dfrac{2}{5}=\dfrac{MN}{10}$.

\[ \begin{aligned} MN &= \frac{2\times 10}{5}\\[2pt] &= \frac{20}{5}\\[2pt] &= 4 \end{aligned} \]

La longueur $MN$ est donc égale à $4$ cm.