Troisième · Chapitre 9

Volumes, sections et repérage

Exercices corrigés — cylindre, cône, boule, pyramide, solide composé, agrandissement, sections, repérage sphérique.
Ex. 1 — Cylindre Ex. 2 — Cône Ex. 3 — Boule Ex. 4 — Pyramide Ex. 5 — Solide composé Ex. 6 — Agrandir, réduire Ex. 7 — Sections et repérage
On garde la valeur exacte (avec $\pi$) tant que possible, et on ne donne une valeur approchée qu'à la fin. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Cylindre

On considère le cylindre de révolution ci-dessous, de rayon $4$ cm et de hauteur $10$ cm.

4 cm 10 cm
  1. Rappeler la formule donnant le volume d'un cylindre de révolution.
  2. Calculer le volume exact de ce cylindre, en fonction de $\pi$.
  3. En donner une valeur approchée au centième de centimètre cube.

1. On écrit la formule du cours.

Le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est $\mathcal{V}=\pi\times r^{2}\times h$.

2. On remplace $r$ par $4$ et $h$ par $10$, et on conserve $\pi$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= \pi\times 4^{2}\times 10\\ &= \pi\times 16\times 10\\ &= 160\pi \end{aligned} \]

Le volume exact de ce cylindre est donc $160\pi$ cm³.

3. On calcule enfin une valeur approchée.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &\approx 502{,}65 \end{aligned} \]

Le volume de ce cylindre est donc d'environ $502{,}65$ cm³.

Exercice 2
Cône

On considère le cône de révolution ci-dessous, de rayon $6$ cm et de hauteur $10$ cm.

6 cm 10 cm
  1. Calculer le volume exact de ce cône, en fonction de $\pi$.
  2. En donner une valeur approchée au centième.
  3. Un second cône a le même rayon mais une hauteur trois fois plus grande. Sans tout recalculer, donner son volume exact.

1. On applique la formule du volume d'un cône, $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times r^{2}\times h$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= \frac{1}{3}\times\pi\times 6^{2}\times 10\\[2pt] &= \frac{1}{3}\times\pi\times 36\times 10\\[2pt] &= \frac{1}{3}\times 360\pi\\[2pt] &= 120\pi \end{aligned} \]

Le volume exact de ce cône est donc $120\pi$ cm³.

2. On en donne une valeur approchée.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &\approx 376{,}99 \end{aligned} \]

Le volume de ce cône est donc d'environ $376{,}99$ cm³.

3. Le volume d'un cône est proportionnel à sa hauteur, lorsque le rayon ne change pas.

En multipliant la hauteur par $3$, on multiplie donc le volume par $3$.

\[ \begin{aligned} 120\pi\times 3 &= 360\pi \end{aligned} \]

Le volume du second cône est donc $360\pi$ cm³.

Exercice 3
Boule

On considère la boule ci-dessous, de rayon $3$ cm.

O 3 cm
  1. Calculer le volume exact de cette boule, en fonction de $\pi$.
  2. En donner une valeur approchée au dixième.
  3. Cette boule est enfermée de justesse dans un cube. Quelle est l'arête de ce cube ?

1. On applique la formule du volume d'une boule, $\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^{3}$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= \frac{4}{3}\times\pi\times 3^{3}\\[2pt] &= \frac{4}{3}\times\pi\times 27\\[2pt] &= \frac{4\times 27}{3}\times\pi\\[2pt] &= 36\pi \end{aligned} \]

Le volume exact de cette boule est donc $36\pi$ cm³.

2. On en donne une valeur approchée.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &\approx 113{,}1 \end{aligned} \]

Le volume de cette boule est donc d'environ $113{,}1$ cm³.

3. Le cube enferme la boule de justesse, donc son arête est égale au diamètre de la boule.

Le diamètre vaut le double du rayon, c'est-à-dire $2\times 3$, soit $6$ cm.

L'arête de ce cube est donc de $6$ cm.

Exercice 4
Pyramide

On considère la pyramide $SABCD$ ci-dessous, à base carrée. Le côté de la base mesure $6$ cm et la hauteur $SH$ mesure $8$ cm.

SAB CDH 6 cm 8 cm
  1. Calculer l'aire de la base $ABCD$.
  2. En déduire le volume de la pyramide $SABCD$.
  3. On réalise une réduction de cette pyramide de rapport $\dfrac{1}{2}$. Calculer le volume de la pyramide réduite.

1. La base est un carré de côté $6$ cm, donc son aire est le carré de $6$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{base}} &= 6\times 6\\ &= 36 \end{aligned} \]

L'aire de la base est donc de $36$ cm².

2. On applique la formule du volume d'une pyramide, $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{\text{base}}\times h$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= \frac{1}{3}\times 36\times 8\\[2pt] &= \frac{1}{3}\times 288\\[2pt] &= 96 \end{aligned} \]

Le volume de la pyramide $SABCD$ est donc de $96$ cm³.

3. Dans une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^{3}$.

Ici, $k=\dfrac{1}{2}$, donc le volume est multiplié par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{8}$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V}' &= 96\times\frac{1}{8}\\[2pt] &= 12 \end{aligned} \]

Le volume de la pyramide réduite est donc de $12$ cm³.

Exercice 5
Solide composé

Un jouet est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône de même rayon, comme sur la figure ci-dessous. Le rayon commun mesure $5$ cm, la hauteur du cylindre $12$ cm et celle du cône $9$ cm.

5 cm 9 cm 12 cm
  1. Calculer le volume exact du cylindre, en fonction de $\pi$.
  2. Calculer le volume exact du cône, en fonction de $\pi$.
  3. En déduire le volume total du jouet, en valeur exacte puis approchée au centième.

1. On applique la formule du volume d'un cylindre.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V}_{\text{cyl}} &= \pi\times 5^{2}\times 12\\ &= \pi\times 25\times 12\\ &= 300\pi \end{aligned} \]

Le volume du cylindre est donc $300\pi$ cm³.

2. On applique la formule du volume d'un cône.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V}_{\text{cône}} &= \frac{1}{3}\times\pi\times 5^{2}\times 9\\[2pt] &= \frac{1}{3}\times\pi\times 25\times 9\\[2pt] &= \frac{1}{3}\times 225\pi\\[2pt] &= 75\pi \end{aligned} \]

Le volume du cône est donc $75\pi$ cm³.

3. Le volume total est la somme des deux volumes.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= 300\pi+75\pi\\ &= 375\pi \end{aligned} \]

Le volume total du jouet est donc $375\pi$ cm³, soit environ $1\,178{,}10$ cm³.

Exercice 6
Agrandir, réduire
  1. Une maquette de bateau est une réduction du bateau réel au rapport $\dfrac{1}{50}$. La coque réelle a une surface de $75$ m². Quelle est la surface de la coque de la maquette, en cm² ?
  2. Un récipient conique a un volume de $240$ mL. On multiplie toutes ses dimensions par $\dfrac{1}{2}$. Quel est le volume du nouveau récipient ?
  3. On agrandit une statue d'un rapport $3$. Son volume initial est de $2$ L. Quel est le volume de la statue agrandie ?

1. Dans une réduction de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$.

Ici $k=\dfrac{1}{50}$, donc les aires sont multipliées par $\dfrac{1}{2\,500}$.

\[ \begin{aligned} 75\times\frac{1}{2\,500} &= 0{,}03 \end{aligned} \]

La surface de la coque de la maquette est donc de $0{,}03$ m², c'est-à-dire $300$ cm².

2. Dans une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^{3}$.

Ici $k=\dfrac{1}{2}$, donc les volumes sont multipliés par $\dfrac{1}{8}$.

\[ \begin{aligned} 240\times\frac{1}{8} &= 30 \end{aligned} \]

Le volume du nouveau récipient est donc de $30$ mL.

3. Dans un agrandissement de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^{3}$.

Ici $k=3$, donc les volumes sont multipliés par $3^{3}$, c'est-à-dire $27$.

\[ \begin{aligned} 2\times 27 &= 54 \end{aligned} \]

Le volume de la statue agrandie est donc de $54$ L.

Exercice 7
Sections et repérage

Partie A — Section. On coupe un pavé droit par un plan parallèle à l'une de ses faces, et un cylindre de rayon $4$ cm par un plan parallèle à ses bases.

  1. Quelle est la nature de la section du pavé droit ?
  2. Quelle est la nature de la section du cylindre, et quelle est sa dimension caractéristique ?

Partie B — Repérage. Sur le globe terrestre ci-dessous, on repère un point $M$ par sa latitude et sa longitude.

N S M équateur
  1. Le point $M$ a pour coordonnées $50°$ Nord et $30°$ Est. Expliquer ce que signifient ces deux valeurs.
  2. Un autre point $N$ est situé sur l'équateur, au méridien de Greenwich. Donner ses coordonnées géographiques.

1. On coupe le pavé par un plan parallèle à une face.

La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle.

2. On coupe le cylindre par un plan parallèle à ses bases.

La section est alors un disque, de même rayon que les bases.

Ce disque a donc un rayon de $4$ cm.

3. On interprète les deux coordonnées géographiques.

La latitude de $50°$ Nord signifie que le point $M$ est situé au nord de l'équateur, à un angle de $50°$ mesuré depuis celui-ci.

La longitude de $30°$ Est signifie qu'il est situé à l'est du méridien de Greenwich, à un angle de $30°$ mesuré depuis ce méridien.

4. On repère le point $N$ à l'intersection de l'équateur et du méridien de Greenwich.

Sur l'équateur, la latitude est nulle ; sur le méridien de Greenwich, la longitude est nulle.

Les coordonnées géographiques du point $N$ sont donc $0°$ de latitude et $0°$ de longitude.