Probabilités — Exercices corrigés (Troisième)

Exercice 1

Urne de boules

Une urne contient $12$ boules indiscernables au toucher : $5$ rouges, $4$ vertes et $3$ jaunes. On tire une boule au hasard.

Quelles sont les issues de cette expérience ? Justifier qu'elles ne sont pas équiprobables.
Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
Calculer la probabilité de l'évènement « tirer une boule verte ou jaune ».
Vérifier que la somme des probabilités des trois issues est égale à $1$.

1. On liste les couleurs possibles, puis on compare leurs effectifs.

Les issues sont : « rouge », « verte » et « jaune ».

Ces trois couleurs ne sont pas présentes en même quantité, donc les issues n'ont pas la même probabilité : elles ne sont pas équiprobables.

En revanche, les douze boules, elles, sont tirées de façon équiprobable.

2. On applique la formule de l'équiprobabilité au tirage des douze boules.

Il y a $5$ boules rouges parmi les $12$ boules de l'urne.

\[ \begin{aligned} P(\text{« rouge »}) &= \frac{5}{12} \end{aligned} \]

3. L'évènement « verte ou jaune » est réalisé par les boules vertes et les boules jaunes.

Il y a $4$ boules vertes et $3$ boules jaunes, soit $7$ boules favorables.

\[ \begin{aligned} P(\text{« verte ou jaune »}) &= \frac{4+3}{12}\\[2pt] &= \frac{7}{12} \end{aligned} \]

4. On additionne les probabilités des trois issues.

\[ \begin{aligned} \frac{5}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12} &= \frac{12}{12}\\[2pt] &= 1 \end{aligned} \]

La somme des probabilités des trois issues est bien égale à $1$.

Exercice 2

Roue truquée

On fait tourner une roue de loterie. Elle peut s'arrêter sur l'une des quatre couleurs suivantes. La roue est truquée, et le tableau ci-dessous donne trois des quatre probabilités.

Couleur	rouge	bleu	vert	jaune
Probabilité	$0{,}35$	$0{,}2$	$?$	$0{,}15$

Déterminer la probabilité que la roue s'arrête sur le vert.
Calculer la probabilité de l'évènement « la roue s'arrête sur le rouge ou le bleu ».
Sur quelle couleur la roue a-t-elle le plus de chances de s'arrêter ?

1. On utilise le fait que la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

On additionne d'abord les trois probabilités connues.

\[ \begin{aligned} 0{,}35+0{,}2+0{,}15 &= 0{,}7 \end{aligned} \]

La probabilité manquante est la différence entre $1$ et cette somme.

\[ \begin{aligned} P(\text{« vert »}) &= 1-0{,}7\\ &= 0{,}3 \end{aligned} \]

La probabilité que la roue s'arrête sur le vert est donc $0{,}3$.

2. On additionne les probabilités des deux issues concernées.

\[ \begin{aligned} P(\text{« rouge ou bleu »}) &= 0{,}35+0{,}2\\ &= 0{,}55 \end{aligned} \]

3. On compare les quatre probabilités.

Les probabilités sont $0{,}35$ pour le rouge, $0{,}2$ pour le bleu, $0{,}3$ pour le vert et $0{,}15$ pour le jaune.

La plus grande est $0{,}35$, donc la roue a le plus de chances de s'arrêter sur le rouge.

Exercice 3

Jeu de cartes

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Ce jeu contient quatre couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle), chacune comportant les cartes : $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi et as.

Justifier que les $32$ issues sont équiprobables.
Calculer la probabilité de tirer un cœur.
Calculer la probabilité de tirer une figure (valet, dame ou roi).
Calculer la probabilité de tirer une carte qui n'est ni un cœur, ni un carreau.

1. On s'appuie sur le mode de tirage.

La carte est tirée au hasard, donc chacune des $32$ cartes a la même probabilité d'être tirée : les issues sont équiprobables.

2. On dénombre les cartes favorables.

Le jeu contient $8$ cœurs sur $32$ cartes.

\[ \begin{aligned} P(\text{« cœur »}) &= \frac{8}{32}\\[2pt] &= \frac{1}{4} \end{aligned} \]

3. On compte les figures dans le jeu entier.

Chaque couleur comporte $3$ figures, et il y a $4$ couleurs, soit $12$ figures.

\[ \begin{aligned} P(\text{« figure »}) &= \frac{12}{32}\\[2pt] &= \frac{3}{8} \end{aligned} \]

4. Les cartes qui ne sont ni cœur ni carreau sont les piques et les trèfles.

Cela représente deux couleurs, soit $16$ cartes.

\[ \begin{aligned} P(\text{« ni cœur ni carreau »}) &= \frac{16}{32}\\[2pt] &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

On pouvait aussi remarquer que cet évènement est le contraire de « cœur ou carreau », dont la probabilité vaut $\dfrac{1}{2}$.

Exercice 4

Évènement contraire

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On considère les évènements suivants.

$A$ : « obtenir le nombre $6$ » ;
$B$ : « obtenir un nombre pair » ;
$C$ : « obtenir un nombre au moins égal à $3$ ».

Calculer $P(A)$, puis en déduire $P\!\left(\overline{A}\right)$. Décrire l'évènement $\overline{A}$ par une phrase.
Calculer $P(B)$, puis $P\!\left(\overline{B}\right)$.
Décrire l'évènement $\overline{C}$, puis calculer $P(C)$ en passant par son contraire.

1. Le dé est équilibré, donc on applique la formule de l'équiprobabilité.

L'évènement $A$ est réalisé par la seule issue « $6$ ».

\[ \begin{aligned} P(A) &= \frac{1}{6} \end{aligned} \]

On utilise ensuite la formule de l'évènement contraire.

\[ \begin{aligned} P\!\left(\overline{A}\right) &= 1-\frac{1}{6}\\[2pt] &= \frac{5}{6} \end{aligned} \]

L'évènement $\overline{A}$ est « ne pas obtenir $6$ », c'est-à-dire « obtenir un nombre inférieur ou égal à $5$ ».

2. L'évènement $B$ est réalisé par les issues « $2$ », « $4$ » et « $6$ ».

\[ \begin{aligned} P(B) &= \frac{3}{6}\\[2pt] &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} P\!\left(\overline{B}\right) &= 1-\frac{1}{2}\\[2pt] &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

L'évènement $\overline{B}$ est « obtenir un nombre impair ».

3. On décrit d'abord l'évènement contraire de $C$.

L'évènement $C$ est « obtenir un nombre au moins égal à $3$ », donc $\overline{C}$ est « obtenir un nombre strictement inférieur à $3$ », réalisé par « $1$ » et « $2$ ».

\[ \begin{aligned} P\!\left(\overline{C}\right) &= \frac{2}{6}\\[2pt] &= \frac{1}{3} \end{aligned} \]

On en déduit la probabilité de $C$.

\[ \begin{aligned} P(C) &= 1-\frac{1}{3}\\[2pt] &= \frac{2}{3} \end{aligned} \]

Exercice 5

Estimation par fréquence

On dispose d'un dé cubique dont on ignore s'il est équilibré. On le lance $1\,000$ fois et on relève le résultat obtenu.

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Effectif	$168$	$170$	$165$	$172$	$160$	$165$

Calculer la fréquence d'apparition de la face $4$.
Ce dé semble-t-il équilibré ? Justifier.
Estimer la probabilité d'obtenir un nombre pair avec ce dé.

1. La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif total.

\[ \begin{aligned} f_{4} &= \frac{172}{1\,000}\\[2pt] &= 0{,}172 \end{aligned} \]

2. On compare les fréquences observées à la probabilité théorique d'un dé équilibré.

Pour un dé équilibré, chaque face aurait une probabilité de $\dfrac{1}{6}$, c'est-à-dire environ $0{,}167$.

Toutes les fréquences observées sont très proches de $0{,}167$, comprises entre $0{,}160$ et $0{,}172$.

Ce dé semble donc bien équilibré : aucune face n'apparaît nettement plus souvent que les autres.

3. On additionne les effectifs des faces paires, puis on divise par l'effectif total.

Les faces paires sont $2$, $4$ et $6$, d'effectifs $170$, $172$ et $165$.

\[ \begin{aligned} 170+172+165 &= 507 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f_{\text{pair}} &= \frac{507}{1\,000}\\[2pt] &= 0{,}507 \end{aligned} \]

La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc estimée à $0{,}507$, ce qui est cohérent avec la valeur théorique $0{,}5$.

Exercice 6

Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces, puis on additionne les deux nombres obtenus. Le tableau ci-dessous donne toutes les sommes possibles.

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Combien y a-t-il d'issues équiprobables au total ?
Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $7$.
Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $12$.
Calculer la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $10$.

1. On compte le nombre de cases du tableau.

Chaque dé a $6$ faces, donc il y a $6\times 6$ résultats possibles, c'est-à-dire $36$ issues équiprobables.

2. On compte les cases du tableau qui contiennent la somme $7$.

La somme $7$ apparaît $6$ fois dans le tableau.

\[ \begin{aligned} P(\text{« somme } 7 \text{ »}) &= \frac{6}{36}\\[2pt] &= \frac{1}{6} \end{aligned} \]

3. On repère la somme $12$.

La somme $12$ n'apparaît qu'une seule fois, avec le double $6$.

\[ \begin{aligned} P(\text{« somme } 12 \text{ »}) &= \frac{1}{36} \end{aligned} \]

4. On compte les cases dont la somme vaut $10$, $11$ ou $12$.

La somme $10$ apparaît $3$ fois, la somme $11$ apparaît $2$ fois et la somme $12$ apparaît $1$ fois, soit $6$ cases favorables.

\[ \begin{aligned} P(\text{« somme } \geqslant 10 \text{ »}) &= \frac{6}{36}\\[2pt] &= \frac{1}{6} \end{aligned} \]

Exercice 7

Boules à compléter

Un sac contient des boules rouges, des boules vertes et des boules noires, indiscernables au toucher. On sait que le sac contient $6$ boules rouges et que la probabilité de tirer une boule rouge est égale à $\dfrac{1}{4}$.

Déterminer le nombre total de boules dans le sac.
Sachant que la probabilité de tirer une boule verte est $\dfrac{5}{12}$, déterminer le nombre de boules vertes.
En déduire le nombre de boules noires, puis la probabilité de tirer une boule noire.

1. On traduit l'énoncé par une égalité de proportions.

On note $n$ le nombre total de boules. Comme le tirage est équiprobable, la probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{6}{n}$.

\[ \begin{aligned} & \frac{6}{n}=\frac{1}{4}\\[2pt] \iff{}& n=6\times 4\\ \iff{}& n=24 \end{aligned} \]

Le sac contient donc $24$ boules au total.

2. On applique la formule de l'équiprobabilité à la couleur verte.

On note $v$ le nombre de boules vertes. La probabilité de tirer une boule verte est $\dfrac{v}{24}$.

\[ \begin{aligned} & \frac{v}{24}=\frac{5}{12}\\[2pt] \iff{}& v=\frac{5\times 24}{12}\\[2pt] \iff{}& v=10 \end{aligned} \]

Le sac contient donc $10$ boules vertes.

3. On déduit le nombre de boules noires en soustrayant.

Le nombre de boules noires est $24-6-10$, c'est-à-dire $8$.

\[ \begin{aligned} P(\text{« noire »}) &= \frac{8}{24}\\[2pt] &= \frac{1}{3} \end{aligned} \]

On vérifie la cohérence : $\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{5}{12}+\dfrac{4}{12}$, c'est-à-dire $1$.