Fonctions affines et linéaires — Exercices corrigés (Troisième)

Exercice 1

Reconnaître

On considère les cinq fonctions suivantes.

\[ f(x)=5x-3 \qquad g(x)=-3x \qquad h(x)=7 \qquad k(x)=x^{2}+1 \qquad m(x)=3(x-2)+5 \]

Préciser lesquelles de ces fonctions sont affines. Donner alors les valeurs de $a$ et de $b$.
Préciser lesquelles sont linéaires.
Parmi les représentations graphiques de ces fonctions, lesquelles sont des droites passant par l'origine du repère ?

1. On compare chaque expression à la forme $ax+b$.

La fonction $f$ est affine, avec $a=5$ et $b=-3$.

La fonction $g$ est affine, avec $a=-3$ et $b=0$.

La fonction $h$ est affine, avec $a=0$ et $b=7$ : c'est une fonction constante.

La fonction $k$ n'est pas affine, car elle contient un terme en $x^{2}$.

L'expression de la fonction $m$ doit d'abord être développée et réduite.

\[ \begin{aligned} m(x) &= 3x-6+5\\ &= 3x-1 \end{aligned} \]

La fonction $m$ est donc affine, avec $a=3$ et $b=-1$.

2. Une fonction est linéaire lorsqu'elle s'écrit sous la forme $ax$, c'est-à-dire lorsque $b=0$.

Seule la fonction $g$ est linéaire, avec $a=-3$.

3. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine.

Seule la représentation graphique de la fonction $g$ est une droite passant par l'origine du repère.

Celles de $f$, $h$ et $m$ sont des droites, mais elles ne passent pas par l'origine. Celle de $k$ n'est pas une droite.

Exercice 2

Images et antécédents

On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x)=-4x+7$.

Calculer $f(3)$.
Calculer l'image de $0$, puis interpréter graphiquement ce résultat.
Déterminer l'antécédent de $15$ par la fonction $f$.
Déterminer l'antécédent de $0$ par la fonction $f$.

1. On remplace la variable $x$ par le nombre $3$.

\[ \begin{aligned} f(3) &= -4\times 3+7\\ &= -12+7\\ &= -5 \end{aligned} \]

2. On remplace la variable $x$ par le nombre $0$.

\[ \begin{aligned} f(0) &= -4\times 0+7\\ &= 7 \end{aligned} \]

L'image de $0$ est $7$ : c'est l'ordonnée à l'origine de la droite représentant la fonction $f$.

Cette droite coupe donc l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;7)$.

3. Chercher l'antécédent de $15$, c'est résoudre l'équation $f(x)=15$.

\[ \begin{aligned} & -4x+7=15\\ \iff{}& -4x=8\\ \iff{}& x=-2 \end{aligned} \]

L'antécédent de $15$ par la fonction $f$ est donc $-2$.

4. On résout de la même façon l'équation $f(x)=0$.

\[ \begin{aligned} & -4x+7=0\\ \iff{}& -4x=-7\\ \iff{}& x=\frac{7}{4} \end{aligned} \]

L'antécédent de $0$ par la fonction $f$ est donc $1{,}75$.

La droite représentant la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(1{,}75\,;0)$.

Exercice 3

Retrouver la fonction

Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(2)=7$ et $f(5)=16$.
Déterminer la fonction linéaire $g$ telle que $g(4)=10$.
Déterminer la fonction affine $h$ dont la représentation graphique est une droite de coefficient directeur $-2$ passant par le point de coordonnées $(3\,;1)$.

1. Le coefficient directeur se calcule à partir des accroissements.

\[ \begin{aligned} a &= \frac{16-7}{5-2}\\[2pt] &= \frac{9}{3}\\[2pt] &= 3 \end{aligned} \]

On détermine ensuite $b$ en utilisant l'égalité $f(2)=7$.

\[ \begin{aligned} & 3\times 2+b=7\\ \iff{}& 6+b=7\\ \iff{}& b=1 \end{aligned} \]

La fonction cherchée est donc définie par $f(x)=3x+1$.

On vérifie ce résultat : $f(5)=3\times 5+1$, c'est-à-dire $16$.

2. Une fonction linéaire s'écrit sous la forme $g(x)=ax$.

\[ \begin{aligned} & 4a=10\\ \iff{}& a=\frac{10}{4}\\ \iff{}& a=2{,}5 \end{aligned} \]

La fonction cherchée est donc définie par $g(x)=2{,}5x$.

3. Le coefficient directeur est donné : il reste à déterminer l'ordonnée à l'origine.

La fonction s'écrit $h(x)=-2x+b$, et le point de coordonnées $(3\,;1)$ appartient à la droite, donc $h(3)=1$.

\[ \begin{aligned} & -2\times 3+b=1\\ \iff{}& -6+b=1\\ \iff{}& b=7 \end{aligned} \]

La fonction cherchée est donc définie par $h(x)=-2x+7$.

Exercice 4

Lecture graphique

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d_{1})$ représente une fonction affine $f$ et la droite $(d_{2})$ représente une fonction affine $g$.

Lire l'ordonnée à l'origine de chacune des deux droites.
Déterminer le coefficient directeur de chacune des deux droites.
En déduire les expressions de $f(x)$ et de $g(x)$.
Lire les coordonnées du point d'intersection des deux droites, puis interpréter ce résultat en termes d'images.

1. L'ordonnée à l'origine se lit à l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

La droite $(d_{1})$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $-3$, donc son ordonnée à l'origine est $-3$.

La droite $(d_{2})$ le coupe au point d'ordonnée $3$, donc son ordonnée à l'origine est $3$.

2. On part d'un point de la droite, on avance de $1$ vers la droite, puis on compte le déplacement vertical.

Sur la droite $(d_{1})$, en avançant de $1$, on monte de $2$ : son coefficient directeur est donc $2$.

Sur la droite $(d_{2})$, en avançant de $1$, on descend de $1$ : son coefficient directeur est donc $-1$.

3. On écrit chaque fonction sous la forme $ax+b$.

On obtient $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-x+3$.

On vérifie avec un point : pour $x=4$, la lecture graphique donne $f(4)=5$, et le calcul donne $2\times 4-3=5$.

4. On lit les coordonnées du point commun aux deux droites.

Les deux droites se coupent au point de coordonnées $(2\,;1)$.

Cela signifie que les deux fonctions ont la même image pour $x=2$ : on a $f(2)=g(2)=1$.

On peut le confirmer par le calcul : $f(2)=2\times 2-3=1$ et $g(2)=-2+3=1$.

Exercice 5

Périmètre et aire

On considère un carré dont le côté mesure $x$ centimètres.

On note $P$ la fonction qui, au côté $x$, associe le périmètre du carré. Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$, puis préciser la nature de cette fonction.
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. S'agit-il d'un tableau de proportionnalité ?
On note $\mathcal{A}$ la fonction qui, au côté $x$, associe l'aire du carré. Exprimer $\mathcal{A}(x)$, puis préciser si cette fonction est linéaire.
Si l'on double la longueur du côté, que deviennent le périmètre et l'aire du carré ?

$x$	$1$	$3$	$5$	$8$
$P(x)$

1. Le périmètre d'un carré est égal au quadruple de la longueur de son côté.

On obtient donc $P(x)=4x$.

Cette expression est de la forme $ax$, donc la fonction $P$ est une fonction linéaire de coefficient $4$.

2. On calcule chaque image en multipliant par $4$.

$x$	$1$	$3$	$5$	$8$
$P(x)$	$4$	$12$	$20$	$32$

Toutes les images s'obtiennent en multipliant la valeur de $x$ par le même nombre $4$.

Il s'agit donc bien d'un tableau de proportionnalité, de coefficient $4$.

3. L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté.

On obtient donc $\mathcal{A}(x)=x^{2}$.

Cette expression n'est pas de la forme $ax$, donc la fonction $\mathcal{A}$ n'est pas linéaire.

Sa représentation graphique n'est d'ailleurs pas une droite.

4. On remplace $x$ par $2x$ dans chacune des deux expressions.

Pour le périmètre, on obtient $P(2x)=4\times 2x$, c'est-à-dire $2\times P(x)$ : le périmètre est multiplié par $2$.

Pour l'aire, on obtient $\mathcal{A}(2x)=(2x)^{2}$, c'est-à-dire $4x^{2}$, soit $4\times\mathcal{A}(x)$ : l'aire est multipliée par $4$.

C'est précisément ce qui distingue une situation de proportionnalité d'une situation qui ne l'est pas.

Exercice 6

Pourcentages

Un article coûte $80$ €. Son prix augmente d'abord de $15\,\%$, puis, lors des soldes, il diminue de $20\,\%$.

Déterminer le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de $15\,\%$, puis calculer le prix après cette augmentation.
Déterminer le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $20\,\%$, puis calculer le prix soldé.
Déterminer le coefficient multiplicateur correspondant à l'évolution globale.
Le prix final est-il supérieur ou inférieur au prix de départ ? Donner le pourcentage d'évolution globale.

1. Augmenter de $15\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{15}{100}$.

Le coefficient multiplicateur vaut donc $1{,}15$.

\[ \begin{aligned} 80\times 1{,}15 &= 92 \end{aligned} \]

Après l'augmentation, l'article coûte $92$ €.

2. Diminuer de $20\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{20}{100}$.

Le coefficient multiplicateur vaut donc $0{,}8$.

\[ \begin{aligned} 92\times 0{,}8 &= 73{,}6 \end{aligned} \]

Le prix soldé de l'article est donc de $73{,}60$ €.

3. Deux évolutions successives correspondent au produit des coefficients multiplicateurs.

\[ \begin{aligned} 1{,}15\times 0{,}8 &= 0{,}92 \end{aligned} \]

Le coefficient multiplicateur global vaut donc $0{,}92$.

On le vérifie : $80\times 0{,}92=73{,}6$.

4. On compare le coefficient global au nombre $1$.

Le coefficient $0{,}92$ est inférieur à $1$, donc le prix final est inférieur au prix de départ.

Comme $0{,}92=1-\dfrac{8}{100}$, l'évolution globale est une diminution de $8\,\%$.

Une hausse de $15\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ ne correspond donc pas à une baisse de $5\,\%$ : les pourcentages ne s'additionnent pas.

Exercice 7

Deux plombiers

Deux plombiers proposent les tarifs suivants pour une intervention de $x$ heures.

Plombier A : un forfait de déplacement de $45$ €, puis $38$ € par heure de travail.
Plombier B : aucun forfait de déplacement, mais $53$ € par heure de travail.

Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ facturé par le plombier A, puis le prix $g(x)$ facturé par le plombier B. Préciser la nature de chacune de ces deux fonctions.
Calculer le prix facturé par chaque plombier pour une intervention de $2$ heures.
Déterminer la durée pour laquelle les deux plombiers facturent le même prix.
Une facture du plombier A s'élève à $216$ €. Déterminer la durée de l'intervention.

1. On traduit chaque tarif par une expression littérale.

Le plombier A facture $f(x)=45+38x$ euros : cette fonction est affine, avec $a=38$ et $b=45$.

Le plombier B facture $g(x)=53x$ euros : cette fonction est linéaire, de coefficient $53$.

2. On calcule l'image de $2$ par chacune des deux fonctions.

\[ \begin{aligned} f(2) &= 45+38\times 2\\ &= 45+76\\ &= 121 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} g(2) &= 53\times 2\\ &= 106 \end{aligned} \]

Pour deux heures, le plombier A facture $121$ € et le plombier B facture $106$ € : le plombier B est alors moins cher.

3. Les deux plombiers facturent le même prix lorsque $f(x)=g(x)$.

\[ \begin{aligned} & 45+38x=53x\\ \iff{}& 45+38x-38x=53x-38x\\ \iff{}& 45=15x\\ \iff{}& x=3 \end{aligned} \]

Les deux plombiers facturent donc le même prix pour une intervention de $3$ heures, à savoir $159$ €.

Au-delà de $3$ heures, le plombier A devient le plus avantageux, car son tarif horaire est plus faible.

4. On cherche l'antécédent de $216$ par la fonction $f$.

\[ \begin{aligned} & 45+38x=216\\ \iff{}& 38x=171\\ \iff{}& x=\frac{171}{38}\\ \iff{}& x=4{,}5 \end{aligned} \]

L'intervention a donc duré $4{,}5$ heures, c'est-à-dire $4$ h $30$ min.