Généralités sur les fonctions — Exercices corrigés (Troisième)

Exercice 1

Tableau de valeurs

Le tableau ci-dessous est un tableau de valeurs d'une fonction $f$.

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$f(x)$	$7$	$3$	$1$	$-3$	$-9$

Déterminer l'image de $-1$ par la fonction $f$.
Donner la valeur de $f(5)$, puis traduire cette égalité par une phrase.
Déterminer un antécédent de $-3$ par la fonction $f$.
Peut-on déterminer l'image de $3$ à l'aide de ce tableau ? Justifier.

1. On cherche $-1$ dans la première ligne, puis on lit la valeur située en dessous.

L'image de $-1$ par la fonction $f$ est $3$. On note $f(-1)=3$.

2. On procède de la même manière avec le nombre $5$.

On lit $f(5)=-9$.

Cette égalité se traduit de deux façons : $-9$ est l'image de $5$ par la fonction $f$, et $5$ est un antécédent de $-9$.

3. On cherche cette fois $-3$ dans la seconde ligne, puis on lit la valeur située au-dessus.

Un antécédent de $-3$ par la fonction $f$ est $2$.

Le tableau ne permet pas d'affirmer que ce soit le seul : d'autres nombres pourraient également avoir $-3$ pour image.

4. On regarde si le nombre $3$ figure dans la première ligne du tableau.

Le nombre $3$ n'apparaît pas dans la première ligne du tableau.

Un tableau de valeurs ne donne que quelques images choisies, donc il ne permet pas de déterminer l'image de $3$.

Exercice 2

Calculer des images

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^{2}-5x+2$.

Calculer l'image de $0$ par la fonction $f$.
Calculer $f(2)$.
Calculer $f(-3)$.
Calculer l'image de $0{,}5$ par la fonction $f$.

1. On remplace la variable $x$ par le nombre $0$.

\[ \begin{aligned} f(0) &= 3\times 0^{2}-5\times 0+2\\ &= 2 \end{aligned} \]

L'image de $0$ par la fonction $f$ est donc $2$.

2. On remplace la variable $x$ par le nombre $2$.

\[ \begin{aligned} f(2) &= 3\times 2^{2}-5\times 2+2\\ &= 3\times 4-10+2\\ &= 12-10+2\\ &= 4 \end{aligned} \]

3. On remplace la variable $x$ par le nombre $-3$, en conservant les parenthèses.

\[ \begin{aligned} f(-3) &= 3\times(-3)^{2}-5\times(-3)+2\\ &= 3\times 9+15+2\\ &= 27+15+2\\ &= 44 \end{aligned} \]

4. On remplace enfin la variable $x$ par le nombre $0{,}5$.

\[ \begin{aligned} f(0{,}5) &= 3\times 0{,}5^{2}-5\times 0{,}5+2\\ &= 3\times 0{,}25-2{,}5+2\\ &= 0{,}75-2{,}5+2\\ &= 0{,}25 \end{aligned} \]

L'image de $0{,}5$ par la fonction $f$ est donc $0{,}25$.

Exercice 3

Chercher des antécédents

On considère les trois fonctions suivantes.

\[ g(x)=5x-12 \qquad h(x)=(x-4)(x+2) \qquad k(x)=x^{2}-9 \]

Déterminer l'antécédent de $3$ par la fonction $g$.
Déterminer les antécédents de $0$ par la fonction $h$.
Déterminer les antécédents de $7$ par la fonction $k$.
Montrer que le nombre $-10$ n'a aucun antécédent par la fonction $k$.

1. Chercher un antécédent de $3$, c'est résoudre l'équation $g(x)=3$.

\[ \begin{aligned} & 5x-12=3\\ \iff{}& 5x=15\\ \iff{}& x=3 \end{aligned} \]

L'antécédent de $3$ par la fonction $g$ est donc $3$.

2. On résout l'équation $h(x)=0$, qui est une équation produit nul.

\[ \begin{aligned} & (x-4)(x+2)=0\\ \iff{}& x-4=0 \ \text{ ou } \ x+2=0\\ \iff{}& x=4 \ \text{ ou } \ x=-2 \end{aligned} \]

Les antécédents de $0$ par la fonction $h$ sont donc $4$ et $-2$.

3. On résout l'équation $k(x)=7$.

\[ \begin{aligned} & x^{2}-9=7\\ \iff{}& x^{2}=16\\ \iff{}& x=4 \ \text{ ou } \ x=-4 \end{aligned} \]

Les antécédents de $7$ par la fonction $k$ sont donc $4$ et $-4$.

4. On résout enfin l'équation $k(x)=-10$.

\[ \begin{aligned} & x^{2}-9=-10\\ \iff{}& x^{2}=-1 \end{aligned} \]

Or le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, donc cette équation n'admet aucune solution.

Le nombre $-10$ n'a donc aucun antécédent par la fonction $k$.

Exercice 4

Lecture graphique

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$.

Lire l'image de $1$ par la fonction $f$.
Lire l'image de $-2$ par la fonction $f$.
Déterminer les antécédents de $2$ par la fonction $f$.
Combien le nombre $3$ possède-t-il d'antécédents par la fonction $f$ ?
Le nombre $4$ possède-t-il un antécédent par la fonction $f$ ? Justifier.

1. Pour lire une image, on se déplace verticalement depuis l'axe des abscisses.

On part de $1$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit $2$ sur l'axe des ordonnées.

L'image de $1$ par la fonction $f$ est donc $2$. On note $f(1)=2$.

2. On procède de la même manière à partir de $-2$.

On part de $-2$ sur l'axe des abscisses, on descend jusqu'à la courbe, puis on lit $-1$ sur l'axe des ordonnées.

L'image de $-2$ par la fonction $f$ est donc $-1$.

3. Pour lire un antécédent, on se déplace cette fois horizontalement depuis l'axe des ordonnées.

On part de $2$ sur l'axe des ordonnées et on rejoint la courbe : celle-ci est atteinte en deux points.

Les antécédents de $2$ par la fonction $f$ sont donc $-1$ et $1$.

4. On repart de $3$ sur l'axe des ordonnées.

La droite horizontale passant par $3$ ne coupe la courbe qu'en un seul point, le sommet de la courbe.

Le nombre $3$ possède donc un unique antécédent par la fonction $f$ : le nombre $0$.

5. On observe la hauteur maximale atteinte par la courbe.

La courbe ne dépasse jamais la valeur $3$ sur l'axe des ordonnées.

La droite horizontale passant par $4$ ne coupe donc pas la courbe : le nombre $4$ n'a aucun antécédent par la fonction $f$.

Exercice 5

Aire et fonction

On considère un rectangle de périmètre $20$ cm dont la longueur mesure $x$ centimètres, avec $x$ compris entre $0$ et $10$.

Justifier que la largeur de ce rectangle est égale à $(10-x)$ centimètres.
On note $\mathcal{A}$ la fonction qui, à la longueur $x$, associe l'aire du rectangle. Exprimer $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$.
Calculer $\mathcal{A}(3)$, puis interpréter ce résultat.
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, puis déterminer la longueur qui semble donner l'aire maximale.

$x$	$1$	$3$	$4$	$5$	$6$	$9$
$\mathcal{A}(x)$

1. On utilise la formule du périmètre d'un rectangle.

Le périmètre vaut $20$ cm, donc la somme de la longueur et de la largeur vaut $10$ cm.

La largeur est donc égale à $(10-x)$ centimètres.

2. L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}(x) &= x(10-x)\\ &= 10x-x^{2} \end{aligned} \]

3. On remplace la variable $x$ par le nombre $3$.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}(3) &= 3\times(10-3)\\ &= 3\times 7\\ &= 21 \end{aligned} \]

Un rectangle de périmètre $20$ cm et de longueur $3$ cm a donc une aire de $21$ cm².

4. On calcule de la même façon les autres images.

$x$	$1$	$3$	$4$	$5$	$6$	$9$
$\mathcal{A}(x)$	$9$	$21$	$24$	$25$	$24$	$9$

La plus grande aire du tableau est obtenue pour $x=5$ : elle vaut $25$ cm².

Dans ce cas, la largeur vaut également $5$ cm : le rectangle d'aire maximale est donc un carré.

Exercice 6

Deux programmes

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme 1 : choisir un nombre, le multiplier par $4$, puis soustraire $3$ au résultat.
Programme 2 : choisir un nombre, lui ajouter $1$, puis multiplier le résultat par $2$.

On note $f$ la fonction associée au programme 1 et $g$ celle associée au programme 2. Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
Calculer l'image de $5$ par chacune de ces deux fonctions.
Déterminer l'antécédent de $-7$ par la fonction $f$.
Déterminer le nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.

1. On traduit chaque étape des programmes par une expression littérale.

Le programme 1 donne $f(x)=4x-3$.

Le programme 2 donne $g(x)=2(x+1)$, soit $g(x)=2x+2$ sous forme développée.

2. On remplace la variable $x$ par le nombre $5$ dans chaque expression.

\[ \begin{aligned} f(5) &= 4\times 5-3\\ &= 17 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} g(5) &= 2\times(5+1)\\ &= 12 \end{aligned} \]

L'image de $5$ est donc $17$ par la fonction $f$, et $12$ par la fonction $g$.

3. Chercher l'antécédent de $-7$ par $f$, c'est résoudre l'équation $f(x)=-7$.

\[ \begin{aligned} & 4x-3=-7\\ \iff{}& 4x=-4\\ \iff{}& x=-1 \end{aligned} \]

L'antécédent de $-7$ par la fonction $f$ est donc $-1$.

4. Les deux programmes donnent le même résultat lorsque $f(x)=g(x)$.

\[ \begin{aligned} & 4x-3=2x+2\\ \iff{}& 4x-3-2x=2x+2-2x\\ \iff{}& 2x-3=2\\ \iff{}& 2x=5\\ \iff{}& x=2{,}5 \end{aligned} \]

Les deux programmes donnent donc le même résultat pour le nombre $2{,}5$.

On vérifie ce résultat : $f(2{,}5)=7$ et $g(2{,}5)=7$.

Exercice 7

Problème de tarifs

Deux compagnies de taxi proposent les tarifs suivants, pour une course de $x$ kilomètres.

Compagnie A : une prise en charge de $4$ €, puis $1{,}50$ € par kilomètre parcouru.
Compagnie B : aucune prise en charge, mais $2{,}50$ € par kilomètre parcouru.

Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la compagnie A, puis le prix $g(x)$ payé avec la compagnie B.
Calculer le prix d'une course de $12$ km avec chacune des deux compagnies.
Un client a payé $25$ € avec la compagnie A. Déterminer la distance parcourue.
Déterminer la distance pour laquelle les deux compagnies facturent le même prix.

1. On traduit chaque tarif par une expression littérale.

Avec la compagnie A, le prix payé est $f(x)=4+1{,}5x$ euros.

Avec la compagnie B, le prix payé est $g(x)=2{,}5x$ euros.

2. On calcule l'image de $12$ par chacune des deux fonctions.

\[ \begin{aligned} f(12) &= 4+1{,}5\times 12\\ &= 4+18\\ &= 22 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} g(12) &= 2{,}5\times 12\\ &= 30 \end{aligned} \]

Une course de $12$ km coûte donc $22$ € avec la compagnie A et $30$ € avec la compagnie B.

3. On cherche l'antécédent de $25$ par la fonction $f$.

\[ \begin{aligned} & 4+1{,}5x=25\\ \iff{}& 1{,}5x=21\\ \iff{}& x=\frac{21}{1{,}5}\\ \iff{}& x=14 \end{aligned} \]

Ce client a donc parcouru $14$ km.

4. Les deux compagnies facturent le même prix lorsque $f(x)=g(x)$.

\[ \begin{aligned} & 4+1{,}5x=2{,}5x\\ \iff{}& 4+1{,}5x-1{,}5x=2{,}5x-1{,}5x\\ \iff{}& 4=x \end{aligned} \]

Les deux compagnies facturent donc le même prix pour une course de $4$ km, à savoir $10$ €.

Au-delà de $4$ km, la compagnie A devient la plus avantageuse.