Troisième · Chapitre 4

Grandeurs composées

Exercices corrigés — conversions, durées, vitesse moyenne, masse volumique, volume, énergie, débit.
Ex. 1 — Conversions d'unités Ex. 2 — Conversions de durées Ex. 3 — Vitesse moyenne Ex. 4 — Masse volumique Ex. 5 — Volume d'un prisme Ex. 6 — Énergie électrique Ex. 7 — Débit d'un robinet
Chaque exercice se traite d'abord seul, puis se corrige en cliquant sur le bouton vert. Les corrections détaillent chaque étape du raisonnement.
Exercice 1
Conversions d'unités
  1. Convertir $2{,}4$ km en millimètres, puis donner le résultat en notation scientifique.
  2. Convertir $750\ \mu$m en mètres, puis donner le résultat en notation scientifique.
  3. Convertir $4{,}2$ mg en kilogrammes.
  4. Ranger dans l'ordre croissant les quatre longueurs suivantes : $0{,}5$ m ; $45$ cm ; $480$ mm ; $0{,}000\,52$ km.

1. On passe des kilomètres aux millimètres, soit six rangs vers la droite dans le tableau des préfixes.

Un kilomètre vaut $10^{3}$ m et un millimètre vaut $10^{-3}$ m, donc un kilomètre vaut $10^{6}$ mm.

\[ \begin{aligned} 2{,}4\ \text{km} &= 2\,400\ \text{m}\\ &= 2\,400\,000\ \text{mm}\\ &= 2{,}4\times 10^{6}\ \text{mm} \end{aligned} \]

2. Un micromètre vaut $10^{-6}$ mètre.

\[ \begin{aligned} 750\ \mu\text{m} &= 750\times 10^{-6}\ \text{m}\\ &= 7{,}5\times 10^{2}\times 10^{-6}\ \text{m}\\ &= 7{,}5\times 10^{-4}\ \text{m} \end{aligned} \]

Cette longueur vaut donc $0{,}000\,75$ m.

3. Un milligramme vaut $10^{-3}$ g et un kilogramme vaut $10^{3}$ g.

Un milligramme vaut donc $10^{-6}$ kg.

\[ \begin{aligned} 4{,}2\ \text{mg} &= 4{,}2\times 10^{-6}\ \text{kg}\\ &= 0{,}000\,004\,2\ \text{kg} \end{aligned} \]

4. On exprime toutes les longueurs dans une même unité, ici le millimètre.

On obtient : $0{,}5$ m vaut $500$ mm, $45$ cm vaut $450$ mm, et $0{,}000\,52$ km vaut $520$ mm.

L'ordre croissant est donc : $45$ cm $<$ $480$ mm $<$ $0{,}5$ m $<$ $0{,}000\,52$ km.

Exercice 2
Conversions de durées
  1. Convertir $2{,}75$ h en heures et minutes.
  2. Convertir $3$ h $18$ min en heures, sous forme décimale.
  3. Convertir $8\,400$ s en heures et minutes.

1. On sépare la partie entière de la partie décimale, puis on convertit celle-ci en minutes.

\[ \begin{aligned} 2{,}75\ \text{h} &= 2\ \text{h}+0{,}75\ \text{h}\\ &= 2\ \text{h}+0{,}75\times 60\ \text{min}\\ &= 2\ \text{h}+45\ \text{min} \end{aligned} \]

Cette durée vaut donc $2$ h $45$ min.

2. On convertit les minutes en heures en divisant par $60$.

\[ \begin{aligned} 3\ \text{h}\ 18\ \text{min} &= 3\ \text{h}+\frac{18}{60}\ \text{h}\\[2pt] &= 3\ \text{h}+0{,}3\ \text{h}\\ &= 3{,}3\ \text{h} \end{aligned} \]

3. On convertit d'abord les secondes en heures, en divisant par $3\,600$.

\[ \begin{aligned} 8\,400\ \text{s} &= \frac{8\,400}{3\,600}\ \text{h}\\[2pt] &\approx 2{,}333\ \text{h} \end{aligned} \]

On préfère ici un calcul exact : $8\,400$ s correspond à $2$ h, soit $7\,200$ s, auxquelles il reste à ajouter $1\,200$ s.

Or $1\,200$ s valent $\dfrac{1\,200}{60}$ min, c'est-à-dire $20$ min.

Cette durée vaut donc $2$ h $20$ min.

Exercice 3
Vitesse moyenne

Un cycliste parcourt $63$ km en $2$ h $15$ min.

  1. Calculer sa vitesse moyenne, exprimée en kilomètres par heure.
  2. En conservant cette vitesse moyenne, quelle distance parcourrait-il en $3$ h $30$ min ?
  3. Toujours à cette vitesse, combien de temps lui faudrait-il pour parcourir $42$ km ?
  4. Exprimer cette vitesse moyenne en mètres par seconde, arrondie au dixième.

1. On exprime d'abord la durée en heures, car la distance est en kilomètres.

\[ \begin{aligned} 2\ \text{h}\ 15\ \text{min} &= 2\ \text{h}+\frac{15}{60}\ \text{h}\\[2pt] &= 2{,}25\ \text{h} \end{aligned} \]

On applique ensuite la formule de la vitesse moyenne.

\[ \begin{aligned} v &= \frac{63}{2{,}25}\\[2pt] &= 28 \end{aligned} \]

La vitesse moyenne de ce cycliste est donc égale à $28$ km/h.

2. On utilise la formule dérivée $d=v\times t$.

La durée $3$ h $30$ min vaut $3{,}5$ h.

\[ \begin{aligned} d &= 28\times 3{,}5\\ &= 98 \end{aligned} \]

Ce cycliste parcourrait donc $98$ km en $3$ h $30$ min.

3. On utilise cette fois la formule dérivée $t=\dfrac{d}{v}$.

\[ \begin{aligned} t &= \frac{42}{28}\\[2pt] &= 1{,}5 \end{aligned} \]

Il lui faudrait donc $1{,}5$ h, c'est-à-dire $1$ h $30$ min, pour parcourir $42$ km.

4. On convertit séparément la distance et la durée.

La distance $28$ km vaut $28\,000$ m et la durée $1$ h vaut $3\,600$ s.

\[ \begin{aligned} v &= \frac{28\,000}{3\,600}\\[2pt] &\approx 7{,}8 \end{aligned} \]

Cette vitesse moyenne vaut donc environ $7{,}8$ m/s.

Exercice 4
Masse volumique

Un bloc de granit a la forme d'un pavé droit dont les dimensions sont indiquées ci-dessous. Sa masse est de $432$ kg.

80 cm 50 cm 40 cm
  1. Calculer le volume de ce bloc, exprimé en mètres cubes.
  2. En déduire la masse volumique du granit, exprimée en kilogrammes par mètre cube.
  3. Exprimer cette masse volumique en grammes par centimètre cube.
  4. Quelle serait la masse d'un bloc de granit de $0{,}5$ m³ ?

1. On convertit d'abord les trois dimensions en mètres, puis on calcule le volume du pavé droit.

Les dimensions valent $0{,}8$ m, $0{,}5$ m et $0{,}4$ m.

\[ \begin{aligned} V &= 0{,}8\times 0{,}5\times 0{,}4\\ &= 0{,}16 \end{aligned} \]

Le volume de ce bloc est donc égal à $0{,}16$ m³.

2. La masse volumique s'obtient en divisant la masse par le volume.

\[ \begin{aligned} \rho &= \frac{432}{0{,}16}\\[2pt] &= 2\,700 \end{aligned} \]

La masse volumique du granit est donc égale à $2\,700$ kg/m³.

3. On convertit séparément la masse et le volume.

La masse $2\,700$ kg vaut $2\,700\,000$ g, et le volume $1$ m³ vaut $1\,000\,000$ cm³.

\[ \begin{aligned} \rho &= \frac{2\,700\,000}{1\,000\,000}\\[2pt] &= 2{,}7 \end{aligned} \]

La masse volumique du granit vaut donc également $2{,}7$ g/cm³.

4. On utilise la formule dérivée : la masse est égale au produit de la masse volumique par le volume.

\[ \begin{aligned} m &= 2\,700\times 0{,}5\\ &= 1\,350 \end{aligned} \]

Un bloc de granit de $0{,}5$ m³ aurait donc une masse de $1\,350$ kg.

Exercice 5
Volume d'un prisme

On considère le prisme droit ci-dessous. Sa base est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $8$ cm, et sa hauteur mesure $15$ cm.

6 cm 8 cm 15 cm
  1. Calculer l'aire de la base de ce prisme droit.
  2. En déduire son volume, exprimé en centimètres cubes.
  3. Exprimer ce volume en litres.
  4. Ce prisme est entièrement rempli d'eau, dont la masse volumique vaut $1$ g/cm³. Calculer la masse de cette eau.

1. L'aire d'un triangle rectangle est égale au demi-produit des côtés de l'angle droit.

On note $\mathcal{B}$ l'aire de la base, exprimée en centimètres carrés.

\[ \begin{aligned} \mathcal{B} &= \frac{6\times 8}{2}\\[2pt] &= 24 \end{aligned} \]

L'aire de la base de ce prisme droit est donc égale à $24$ cm².

2. Le volume d'un prisme droit est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

L'aire est exprimée en cm² et la hauteur en cm : les unités sont bien concordantes.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= 24\times 15\\ &= 360 \end{aligned} \]

Le volume de ce prisme droit est donc égal à $360$ cm³.

3. On utilise l'égalité $1$ L $=1\,000$ cm³.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= \frac{360}{1\,000}\ \text{L}\\[2pt] &= 0{,}36\ \text{L} \end{aligned} \]

4. La masse est égale au produit de la masse volumique par le volume.

\[ \begin{aligned} m &= 1\times 360\\ &= 360 \end{aligned} \]

La masse de l'eau contenue dans ce prisme est donc de $360$ g, c'est-à-dire $0{,}36$ kg.

Exercice 6
Énergie électrique

Un radiateur électrique a une puissance de $1\,500$ W. Il fonctionne chaque jour pendant $3$ h $30$ min. Le prix du kilowattheure est de $0{,}25$ €.

  1. Calculer l'énergie consommée par ce radiateur en une journée, exprimée en wattheures.
  2. Exprimer cette énergie en kilowattheures.
  3. Calculer le coût de fonctionnement de ce radiateur pour une journée.
  4. Calculer le coût de fonctionnement pour un mois de $30$ jours.

1. L'énergie électrique est le produit de la puissance par la durée.

La durée $3$ h $30$ min vaut $3{,}5$ h, et la puissance est exprimée en watts : les unités sont concordantes.

\[ \begin{aligned} E &= 1\,500\times 3{,}5\\ &= 5\,250 \end{aligned} \]

Ce radiateur consomme donc $5\,250$ W·h en une journée.

2. Un kilowattheure vaut $1\,000$ wattheures.

\[ \begin{aligned} E &= \frac{5\,250}{1\,000}\\[2pt] &= 5{,}25 \end{aligned} \]

Cette énergie vaut donc $5{,}25$ kW·h.

3. On multiplie l'énergie consommée par le prix du kilowattheure.

\[ \begin{aligned} 5{,}25\times 0{,}25 &= 1{,}312\,5 \end{aligned} \]

Le coût de fonctionnement de ce radiateur est donc d'environ $1{,}31$ € par jour.

4. On multiplie le coût journalier par le nombre de jours.

Pour éviter une accumulation d'arrondis, on repart de la valeur exacte $1{,}312\,5$ €.

\[ \begin{aligned} 1{,}312\,5\times 30 &= 39{,}375 \end{aligned} \]

Le coût de fonctionnement pour un mois de $30$ jours est donc d'environ $39{,}38$ €.

Exercice 7
Débit d'un robinet

Un robinet remplit une baignoire de $150$ L en $12$ minutes. Le débit d'un robinet est la grandeur quotient obtenue en divisant le volume d'eau écoulé par la durée de l'écoulement.

  1. Calculer le débit de ce robinet, exprimé en litres par minute.
  2. Exprimer ce débit en litres par heure.
  3. Ce robinet alimente une piscine de $24$ m³. Calculer la durée nécessaire à son remplissage.

1. On divise le volume écoulé par la durée de l'écoulement.

On note $D$ le débit de ce robinet, exprimé en litres par minute.

\[ \begin{aligned} D &= \frac{150}{12}\\[2pt] &= 12{,}5 \end{aligned} \]

Le débit de ce robinet est donc de $12{,}5$ L/min.

2. Une heure vaut $60$ minutes.

\[ \begin{aligned} D &= 12{,}5\times 60\\ &= 750 \end{aligned} \]

Le débit de ce robinet vaut donc également $750$ L/h.

3. On convertit d'abord le volume de la piscine en litres.

Un mètre cube vaut $1\,000$ L, donc $24$ m³ valent $24\,000$ L.

On divise ensuite ce volume par le débit horaire.

\[ \begin{aligned} t &= \frac{24\,000}{750}\\[2pt] &= 32 \end{aligned} \]

Le remplissage de cette piscine durerait donc $32$ heures, soit un jour et $8$ heures.