On considère les deux expressions littérales suivantes.
1. On remplace la variable $x$ par le nombre $-3$, sans oublier les parenthèses.
La valeur de l'expression $A$ pour $x=-3$ est donc $34$.
2. On remplace chacune des deux variables par sa valeur.
La valeur de l'expression $B$ pour $x=1$ et $y=-2$ est donc $32$.
3. On repère la dernière opération effectuée dans chaque expression.
Dans l'expression $A$, la dernière opération est une addition : l'expression $A$ est une somme algébrique.
Dans l'expression $B$, la dernière opération est une multiplication : l'expression $B$ est un produit.
Développer puis réduire chacune des trois expressions suivantes.
1. On développe les deux produits, puis on réduit.
Le signe $-$ placé devant le second produit multiplie chacun des termes de la parenthèse.
2. On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
3. On reconnaît le cas particulier $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$.
Ici, on a $a=5x$ et $b=1$.
On peut vérifier ce résultat par un double développement : les termes $-5x$ et $+5x$ se compensent.
Factoriser chacune des trois expressions suivantes.
1. On cherche un facteur commun aux deux termes.
Le nombre $21$ est un multiple de $7$ et les deux termes contiennent la variable $x$, donc le facteur commun est $7x$.
2. On repère le facteur commun, qui est ici une parenthèse.
Les deux termes contiennent le facteur $(x+2)$.
3. On reconnaît une différence de deux carrés.
On a $49x^{2}=(7x)^{2}$ et $16=4^{2}$, donc l'expression $H$ s'écrit sous la forme $a^{2}-b^{2}$ avec $a=7x$ et $b=4$.
On considère le programme de calcul suivant.
1. On applique les quatre étapes du programme.
Avec le nombre $5$ : la somme vaut $5+3=8$, le produit vaut $8\times 2=16$, et le double du nombre choisi vaut $10$.
Le résultat obtenu est donc $16-10$, c'est-à-dire $6$.
Avec le nombre $-1$ : la somme vaut $-1+3=2$, le produit vaut $2\times 2=4$, et le double du nombre choisi vaut $-2$.
Le résultat obtenu est donc $4-(-2)$, c'est-à-dire $6$.
2. On traduit chaque étape du programme par une expression littérale.
On ajoute $3$ au nombre choisi, ce qui donne $x+3$.
On multiplie cette somme par $2$, ce qui donne $2(x+3)$.
On soustrait enfin le double du nombre choisi, c'est-à-dire $2x$.
Le résultat du programme s'exprime donc par $R=2(x+3)-2x$.
3. On développe et on réduit cette expression.
L'expression obtenue ne contient plus la variable $x$.
Le résultat de ce programme est donc toujours égal à $6$, quel que soit le nombre choisi au départ.
On considère le rectangle $ABCD$ ci-dessous, dont les dimensions sont exprimées en centimètres. Le nombre $x$ désigne un nombre positif.
1. Le périmètre d'un rectangle est égal au double de la somme de sa longueur et de sa largeur.
On note $P$ le périmètre du rectangle $ABCD$, exprimé en centimètres.
Le périmètre de ce rectangle est donc égal à $6x+8$ centimètres.
2. L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.
On note $\mathcal{A}$ l'aire du rectangle $ABCD$, exprimée en centimètres carrés.
L'aire de ce rectangle est donc égale à $2x^{2}+5x+3$ centimètres carrés.
3. On remplace la variable $x$ par le nombre $5$ dans les deux expressions réduites.
Pour $x=5$, le rectangle a un périmètre de $38$ cm et une aire de $78$ cm².
On peut contrôler ces résultats : la longueur vaut alors $13$ cm et la largeur vaut $6$ cm.
On découpe un carré de côté $3$ cm dans un coin d'un carré de côté $x$ cm, où $x$ est un nombre supérieur à $3$. La partie restante est coloriée ci-dessous.
1. On soustrait l'aire du petit carré à l'aire du grand carré.
Le grand carré a un côté de $x$ cm, donc son aire vaut $x^{2}$ cm².
Le carré découpé a un côté de $3$ cm, donc son aire vaut $9$ cm².
On note $\mathcal{A}$ l'aire de la partie coloriée, exprimée en centimètres carrés.
2. On reconnaît une différence de deux carrés.
L'expression obtenue s'écrit sous la forme $a^{2}-b^{2}$ avec $a=x$ et $b=3$.
3. On remplace la variable $x$ par le nombre $8$ dans chacune des deux formes.
Avec la forme développée, on obtient $8^{2}-9$, c'est-à-dire $64-9$, soit $55$.
Avec la forme factorisée, on obtient $(8+3)\times(8-3)$, c'est-à-dire $11\times 5$, soit $55$.
Les deux formes donnent bien le même résultat : l'aire de la partie coloriée est de $55$ cm².
On considère l'expression $K=(x+4)(x-2)-(x+1)(x+1)$.
1. On remplace la variable $x$ par chacune des deux valeurs.
Les deux valeurs choisies donnent le même résultat, ce qui laisse penser que l'expression $K$ est constante.
2. On développe séparément chacun des deux produits.
Le premier produit se développe ainsi.
Le second produit se développe de la même manière.
On soustrait enfin le second résultat au premier, en changeant tous les signes de la parenthèse.
3. On interprète le résultat obtenu.
L'expression réduite ne contient plus la variable $x$.
L'expression $K$ est donc constante : elle est égale à $-9$ quelle que soit la valeur de $x$.