On considère les deux nombres entiers $588$ et $630$.
1. On divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus grand.
Le nombre $588$ est pair, donc il est divisible par $2$.
On regroupe les facteurs identiques et on obtient $588=2^{2}\times 3\times 7^{2}$.
2. On procède de la même manière avec le nombre $630$.
On obtient donc $630=2\times 3^{2}\times 5\times 7$.
3. On remplace le numérateur et le dénominateur par leurs décompositions.
Les nombres $14$ et $15$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$, donc la fraction $\dfrac{14}{15}$ est irréductible.
4. Le plus grand diviseur commun est le produit des facteurs premiers communs.
Les facteurs communs aux deux décompositions sont $2$, $3$ et $7$.
Le plus grand diviseur commun aux nombres $588$ et $630$ est donc $42$.
On considère les trois nombres suivants.
1. On calcule d'abord le numérateur, puis le quotient.
Le produit du numérateur vaut $10^{7}\times 10^{-3}=10^{7+(-3)}$, c'est-à-dire $10^{4}$.
Le nombre $A$ est donc égal à $10^{6}$, c'est-à-dire à $1\,000\,000$.
2. On élève séparément chaque facteur à la puissance $3$.
Le nombre $8$ est bien compris entre $1$ et $10$, donc la notation scientifique de $B$ est $8\times 10^{-12}$.
3. On applique les règles de calcul sur les puissances d'un même nombre.
Le produit du numérateur vaut $5^{-2}\times 5^{6}=5^{-2+6}$, c'est-à-dire $5^{4}$.
Le nombre $C$ est donc égal à $5$.
On considère les deux nombres suivants.
1. On regroupe d'un côté les nombres décimaux, de l'autre les puissances de $10$.
La notation scientifique du nombre $D$ est donc $1\times 10^{-2}$.
2. On procède de la même manière avec le quotient.
Le nombre $4$ est compris entre $1$ et $10$, donc la notation scientifique du nombre $E$ est $4\times 10^{7}$.
3. On compare d'abord les exposants des puissances de $10$.
Le nombre $D$ vaut $1\times 10^{-2}$ et le nombre $F$ vaut $3\times 10^{-2}$ : ces deux nombres ont le même exposant, donc on compare les nombres $1$ et $3$.
Comme $1<3$, on en déduit que $D<F$.
Le nombre $E$ possède l'exposant le plus grand, donc c'est le plus grand des trois nombres.
L'ordre croissant est donc $D<F<E$.
La masse d'un atome d'or est environ égale à $3,27\times 10^{-25}$ kg. Un lingot d'or a une masse de $12,4$ kg.
1. Un ordre de grandeur s'obtient en arrondissant le facteur décimal à l'unité.
Le nombre $3,27$ est proche de $3$, donc un ordre de grandeur de la masse d'un atome d'or est $3\times 10^{-25}$ kg.
2. On divise la masse du lingot par la masse d'un atome.
On note $N$ le nombre d'atomes cherché.
Ce lingot contient donc environ $3,79\times 10^{25}$ atomes d'or.
3. On compare les deux nombres d'atomes.
Les deux nombres $3,79\times 10^{25}$ et $7,6\times 10^{25}$ ont la même puissance de $10$, donc on compare les nombres $3,79$ et $7,6$.
Comme $3,79<7,6$, le deuxième lingot contient davantage d'atomes que le premier.
Les deux lingots sont constitués du même métal, donc le deuxième lingot est effectivement plus lourd que le premier.
On considère un cube dont l'arête mesure $3\times 10^{-2}$ m.
1. On convertit la longueur de l'arête.
Le nombre $3\times 10^{-2}$ est égal à $0,03$, donc l'arête mesure $0,03$ m.
Un mètre vaut $100$ centimètres, donc l'arête de ce cube mesure $3$ cm.
2. Le volume d'un cube est égal au cube de la longueur de son arête.
On note $V$ le volume de ce cube, exprimé en mètres cubes.
Le nombre $27$ n'est pas compris entre $1$ et $10$, donc on modifie l'écriture obtenue.
Le volume de ce cube est donc égal à $2,7\times 10^{-5}$ m³, c'est-à-dire à $27$ cm³.
3. L'aire totale d'un cube est égale à six fois l'aire d'une de ses faces.
On note $\mathcal{A}$ l'aire totale de ce cube, exprimée en mètres carrés.
On transforme enfin cette écriture en notation scientifique.
L'aire totale de ce cube est donc égale à $5,4\times 10^{-3}$ m², c'est-à-dire à $54$ cm².
Un carreleur doit recouvrir entièrement une terrasse rectangulaire de $96$ cm de largeur et de $156$ cm de longueur. Il utilise des carreaux carrés identiques, sans en découper aucun.
1. On divise successivement chaque nombre par les nombres premiers.
On obtient donc $96=2^{5}\times 3$.
On obtient donc $156=2^{2}\times 3\times 13$.
2. Le côté cherché doit diviser à la fois la largeur et la longueur.
Comme aucun carreau n'est découpé, la longueur du côté d'un carreau est un diviseur commun aux nombres $96$ et $156$.
Le plus grand carreau possible correspond donc au plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
Les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont $2$, $2$ et $3$.
Le côté du plus grand carreau possible mesure donc $12$ cm.
3. On compte le nombre de carreaux dans la largeur, puis dans la longueur.
Dans la largeur, on place $96\div 12$ carreaux, c'est-à-dire $8$ carreaux.
Dans la longueur, on place $156\div 12$ carreaux, c'est-à-dire $13$ carreaux.
Le carreleur a donc besoin de $104$ carreaux pour recouvrir entièrement cette terrasse.
On rappelle qu'un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $a\times 10^{n}$, où $a$ et $n$ sont des nombres entiers relatifs.
1. On décompose le numérateur et le dénominateur.
On a $35=5\times 7$ et $56=2^{3}\times 7$.
Les nombres $5$ et $8$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$, donc cette fraction est irréductible.
On multiplie ensuite le numérateur et le dénominateur par $125$ afin d'obtenir une puissance de $10$ au dénominateur.
Ce nombre s'écrit sous la forme $a\times 10^{n}$ avec $a=625$ et $n=-3$, donc il est bien décimal. Il est égal à $0,625$.
2. On procède de la même manière.
On a $42=2\times 3\times 7$ et $60=2^{2}\times 3\times 5$.
Les nombres $7$ et $10$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$, donc cette fraction est irréductible.
Ce nombre s'écrit $7\times 10^{-1}$, donc il est décimal. Il est égal à $0,7$.
3. On observe la décomposition du dénominateur.
Le dénominateur se décompose en $30=2\times 3\times 5$ : il contient le facteur premier $3$.
Or une puissance de $10$ se décompose uniquement en facteurs $2$ et $5$, puisque $10=2\times 5$.
Le facteur $3$ ne peut donc jamais disparaître du dénominateur, quel que soit le nombre par lequel on multiplie la fraction.
Le nombre $\dfrac{7}{30}$ ne peut donc pas s'écrire sous la forme $a\times 10^{n}$ : ce n'est pas un nombre décimal.