Seconde · Chapitre 7

Les vecteurs

Exercices corrigés — vecteur, vecteurs égaux, somme, produit par un réel, coordonnées, opérations, norme, milieu.
Ex. 1 — Vecteur Ex. 2 — Vecteurs égaux Ex. 3 — Somme Ex. 4 — Produit par un réel Ex. 5 — Coordonnées Ex. 6 — Opérations Ex. 7 — Norme Ex. 8 — Milieu
Exercice 1
Vecteur

On donne les points $A(-1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,2)$.

  1. Quelle est la direction du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
  2. Quelle est sa norme ?

a. $A$ et $B$ ont la même ordonnée : la droite $(AB)$ est horizontale.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a la direction de l'axe des abscisses (horizontale).

b. La norme de $\overrightarrow{AB}$ est la longueur $AB$.

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4+1\\2-2\end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\] \[ \left\|\overrightarrow{AB}\right\| = AB = \sqrt{5^2+0^2} = 5 \]
Exercice 2
Vecteurs égaux

$EFGH$ est un parallélogramme (dans cet ordre de sommets).

  1. Quelle égalité de vecteurs peut-on en déduire, associée aux côtés $[EF]$ et $[HG]$ ?
  2. Que peut-on dire des longueurs $EF$ et $HG$ ?

a. Dans un parallélogramme $EFGH$, les côtés opposés $[EF]$ et $[HG]$ sont associés à des vecteurs égaux (même sens de parcours).

\[ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG} \]

b. Des vecteurs égaux ont la même norme.

$EF = HG$.

Exercice 3
Somme

Simplifier les expressions suivantes à l'aide de la relation de Chasles :

  1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$
  2. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}$

a. On applique deux fois la relation de Chasles.

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \]

b. On regroupe $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$, puis on ajoute $\overrightarrow{BA}$.

\[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} = \vec{0} \]
Exercice 4
Produit par un réel

Un vecteur $\vec{u}$ a pour norme $\left\|\vec{u}\right\| = 4$.

  1. Quelle est la norme de $3\vec{u}$ ?
  2. Quelle est la norme de $-\dfrac{1}{2}\vec{u}$ ? Ce vecteur a-t-il le même sens que $\vec{u}$ ?

a. On applique $\left\|k\vec{u}\right\| = |k|\times\left\|\vec{u}\right\|$ avec $k=3$.

\[ \left\|3\vec{u}\right\| = 3\times 4 = 12 \]

b. On applique la même formule avec $k=-\dfrac{1}{2}$.

\[ \left\|-\frac{1}{2}\vec{u}\right\| = \frac{1}{2}\times 4 = 2 \]

Comme $k=-\dfrac{1}{2}<0$, le vecteur $-\dfrac{1}{2}\vec{u}$ a un sens contraire à celui de $\vec{u}$.

Exercice 5
Coordonnées

Dans un repère $\left(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\right)$, on donne $C(-3\,;\,4)$ et $D(1\,;\,-2)$.

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$.

On applique $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_D-x_C\\y_D-y_C\end{pmatrix}$.

\[ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix} \]
Exercice 6
Opérations

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$.

Calculer les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ puis de $3\vec{u}-2\vec{v}$.

On additionne coordonnée par coordonnée.

\[ \vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}-2+4\\5+(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} \]

On calcule $3\vec{u}$ et $2\vec{v}$ séparément, puis on soustrait coordonnée par coordonnée.

\[ 3\vec{u}\begin{pmatrix}-6\\15\end{pmatrix} \qquad 2\vec{v}\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix} \qquad 3\vec{u}-2\vec{v}\begin{pmatrix}-6-8\\15-(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-14\\17\end{pmatrix} \]
Exercice 7
Norme

Dans un repère orthonormé, on donne $E(-1\,;\,3)$ et $F(2\,;\,-1)$.

Calculer la distance $EF$.

On applique $EF = \sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}$.

\[ EF = \sqrt{(2-(-1))^2+(-1-3)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]
Exercice 8
Milieu

On donne $P(-4\,;\,7)$ et $Q(6\,;\,-3)$.

  1. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[PQ]$.
  2. Vérifier que $\overrightarrow{PI} = \overrightarrow{IQ}$.

a. On applique $x_I = \dfrac{x_P+x_Q}{2}$ et $y_I = \dfrac{y_P+y_Q}{2}$.

\[ x_I = \frac{-4+6}{2} = 1 \qquad\qquad y_I = \frac{7+(-3)}{2} = 2 \]

$I(1\,;\,2)$.

b. On calcule les coordonnées de chaque vecteur et on compare.

\[ \overrightarrow{PI}\begin{pmatrix}1-(-4)\\2-7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix} \qquad\qquad \overrightarrow{IQ}\begin{pmatrix}6-1\\-3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix} \]

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées : $\overrightarrow{PI} = \overrightarrow{IQ}$, ce qui confirme que $I$ est bien le milieu de $[PQ]$.