Seconde · Chapitre 11

Statistiques à une et deux variables

Exercices corrigés — fréquences, moyenne pondérée, médiane, quartiles, écart interquartile, étendue, écart type, séries à deux variables.
Ex. 1 — Fréquences cumulées Ex. 2 — Moyenne pondérée Ex. 3 — Médiane Ex. 4 — Quartiles Ex. 5 — Écart interquartile Ex. 6 — Étendue et écart type Ex. 7 — Deux variables qualitatives
Exercice 1
Fréquences cumulées

On donne la série statistique suivante :

Valeur25710
Effectif4637
  1. Calculer l'effectif total $N$.
  2. Calculer la fréquence de la valeur $7$.
  3. Calculer l'effectif cumulé croissant de la valeur $7$.

a. On additionne tous les effectifs.

\[ N = 4+6+3+7 = 20 \]

b. On applique $f_i = \dfrac{n_i}{N}$.

\[ f(7) = \frac{3}{20} = 0{,}15 = 15\,\% \]

c. L'E.C.C. de $7$ est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à $7$, soit $2$, $5$ et $7$.

\[ \text{E.C.C.}(7) = 4+6+3 = 13 \]
Exercice 2
Moyenne pondérée

Une série statistique donne les notes suivantes, avec leurs effectifs :

Note81216
Effectif5105

Calculer la moyenne de cette série.

On applique $\overline{x} = \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3}{N}$ avec $N=5+10+5=20$.

\[ \overline{x} = \frac{5\times 8+10\times 12+5\times 16}{20} = \frac{40+120+80}{20} = \frac{240}{20} = 12 \]
Exercice 3
Médiane

Déterminer la médiane des séries ordonnées suivantes :

  1. $3\,;\,5\,;\,6\,;\,9\,;\,11$
  2. $2\,;\,4\,;\,5\,;\,7\,;\,10\,;\,13$

a. La série compte $5$ valeurs (effectif impair) : la médiane est la valeur centrale, en $3^{\text{e}}$ position.

$\text{Me} = 6$.

b. La série compte $6$ valeurs (effectif pair) : la médiane est la moyenne des $3^{\text{e}}$ et $4^{\text{e}}$ valeurs.

\[ \text{Me} = \frac{5+7}{2} = 6 \]
Exercice 4
Quartiles

Une série ordonnée compte $32$ valeurs.

  1. À quel rang se trouve $Q_1$ ?
  2. À quel rang se trouve $Q_3$ ?

a. $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.

\[ 25\,\% \text{ de } 32 = 0{,}25\times 32 = 8 \]

$Q_1$ est donc la $8^{\text{e}}$ valeur de la série.

b. De même pour $Q_3$, avec $75\,\%$.

\[ 75\,\% \text{ de } 32 = 0{,}75\times 32 = 24 \]

$Q_3$ est donc la $24^{\text{e}}$ valeur de la série.

Exercice 5
Écart interquartile

Deux séries statistiques ont pour quartiles :

  • Série A : $Q_1=10$, $Q_3=14$
  • Série B : $Q_1=5$, $Q_3=25$

Calculer l'écart interquartile de chaque série, et dire laquelle est la plus dispersée autour de sa médiane.

On calcule $Q_3-Q_1$ pour chaque série.

\[ \text{Série A} : 14-10 = 4 \qquad\qquad \text{Série B} : 25-5 = 20 \]

L'écart interquartile de la série B ($20$) est bien plus grand que celui de la série A ($4$) : la série B est la plus dispersée autour de sa médiane.

Exercice 6
Étendue et écart type

Une série statistique a pour valeurs $4$, $6$ et $8$, avec les effectifs respectifs $2$, $4$ et $2$ ($N=8$).

  1. Calculer l'étendue de la série.
  2. Calculer la moyenne $\overline{x}$, puis l'écart type $\sigma$.

a. L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.

\[ \text{Étendue} = 8-4 = 4 \]

b. On calcule d'abord la moyenne.

\[ \overline{x} = \frac{2\times 4+4\times 6+2\times 8}{8} = \frac{8+24+16}{8} = \frac{48}{8} = 6 \]

On calcule ensuite l'écart type à l'aide de la moyenne.

\[ \sigma = \sqrt{\frac{2(4-6)^2+4(6-6)^2+2(8-6)^2}{8}} = \sqrt{\frac{8+0+8}{8}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \]
Exercice 7
Deux variables qualitatives

On a interrogé $150$ élèves d'un lycée sur leur pratique du sport et leur filière :

SportPas de sportTotal
Filière S402060
Filière ES/L306090
Total7080150
  1. Quelle est la fréquence des élèves de filière S pratiquant un sport, dans la population totale ?
  2. Quelle est la fréquence marginale des élèves pratiquant un sport ?
  3. Quelle est la fréquence conditionnelle des élèves de filière S, parmi ceux qui pratiquent un sport ?

a. On lit directement la case correspondant aux deux critères, rapportée à l'effectif total.

\[ f = \frac{40}{150} \approx 0{,}267 \approx 26{,}7\,\% \]

b. La fréquence marginale correspond au total de la colonne « Sport », rapporté à l'effectif total.

\[ f = \frac{70}{150} \approx 0{,}467 \approx 46{,}7\,\% \]

c. La fréquence conditionnelle se calcule en rapportant l'effectif de filière S parmi les sportifs (et non sur l'effectif total) au nombre total de sportifs.

\[ f = \frac{40}{70} \approx 0{,}571 \approx 57{,}1\,\% \]