Seconde · Chapitre 10

Proportions et évolutions

Exercices corrigés — proportion, variations, coefficient multiplicateur, augmentation/diminution, évolutions successives et réciproque, pourcentage de pourcentage.
Ex. 1 — Proportion Ex. 2 — Variations Ex. 3 — Coefficient multiplicateur Ex. 4 — Augmentation/diminution Ex. 5 — Évolutions successives Ex. 6 — Évolution réciproque Ex. 7 — Pourcentage de pourcentage
Exercice 1
Proportion

Un collège compte $N=450$ élèves, dont $n=189$ demi-pensionnaires.

  1. Calculer la proportion $p$ de demi-pensionnaires.
  2. Sachant que $65\,\%$ des demi-pensionnaires sont en $6^\text{e}$ ou $5^\text{e}$, combien de demi-pensionnaires cela représente-t-il ?

a. On applique $p=\dfrac{n}{N}$.

\[ p = \frac{189}{450} = 0{,}42 \]

La proportion de demi-pensionnaires est $42\,\%$.

b. On applique $n=p\times N$ avec $N=189$ (population des demi-pensionnaires) et $p=0{,}65$.

\[ n = 0{,}65\times 189 = 122{,}85 \approx 123 \]

Cela représente environ $123$ demi-pensionnaires.

Exercice 2
Variations

Le prix d'un abonnement passe de $v_I=25$€ à $v_F=21$€.

  1. Calculer la variation absolue.
  2. Calculer le taux d'évolution $t$ (variation relative).

a. La variation absolue est $v_F-v_I$.

\[ 21-25 = -4 \]

Le prix a baissé de $4$€.

b. On applique $t=\dfrac{v_F-v_I}{v_I}$.

\[ t = \frac{-4}{25} = -0{,}16 \]

Le taux d'évolution est $-16\,\%$ (une baisse de $16\,\%$).

Exercice 3
Coefficient multiplicateur
  1. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $18\,\%$ ?
  2. Un article coûte $70$€ avant une hausse de $18\,\%$. Quel est son nouveau prix ?

a. On applique $c=1+t$ avec $t=0{,}18$.

\[ c = 1+0{,}18 = 1{,}18 \]

b. On applique $v_F=c\times v_I$.

\[ v_F = 1{,}18\times 70 = 82{,}6 \]

Le nouveau prix est $82{,}60$€.

Exercice 4
Augmentation et diminution

Pour chacun des coefficients multiplicateurs suivants, préciser s'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution, et donner le taux d'évolution correspondant :

  1. $c=1{,}07$
  2. $c=0{,}88$

a. $c=1{,}07 > 1$ : il s'agit d'une augmentation.

\[ t = 1{,}07-1 = 0{,}07 \]

Le taux d'évolution est $+7\,\%$.

b. $c=0{,}88 < 1$ : il s'agit d'une diminution.

\[ t = 0{,}88-1 = -0{,}12 \]

Le taux d'évolution est $-12\,\%$.

Exercice 5
Évolutions successives

Un capital subit une baisse de $15\,\%$ la première année, puis une hausse de $25\,\%$ la seconde année.

  1. Déterminer le coefficient multiplicateur global $c_g$.
  2. En déduire le taux d'évolution global $t_g$. Le capital a-t-il globalement augmenté ou diminué ?

a. On calcule d'abord $c_1$ et $c_2$, puis $c_g=c_1\times c_2$.

\[ c_1 = 1-0{,}15 = 0{,}85 \qquad c_2 = 1+0{,}25=1{,}25 \]
\[ c_g = 0{,}85\times 1{,}25 = 1{,}0625 \]

b. On applique $t_g=c_g-1$.

\[ t_g = 1{,}0625-1 = 0{,}0625 \]

Le taux d'évolution global est $+6{,}25\,\%$ : le capital a globalement augmenté, malgré la baisse initiale.

Exercice 6
Évolution réciproque

Une quantité subit une hausse de $60\,\%$ (coefficient $c=1{,}6$).

  1. Quel est le coefficient multiplicateur réciproque $c_r$, permettant de revenir à la valeur initiale ?
  2. En déduire le taux d'évolution réciproque $t_r$ (arrondi au centième).

a. On applique $c_r=\dfrac{1}{c}$.

\[ c_r = \frac{1}{1{,}6} = 0{,}625 \]

b. On applique $t_r=c_r-1$.

\[ t_r = 0{,}625-1=-0{,}375 \approx -0{,}38 \]

Le taux réciproque est environ $-37{,}5\,\%$ : il faut une baisse d'environ $37{,}5\,\%$ (et non $60\,\%$) pour revenir à la valeur initiale.

Exercice 7
Pourcentage de pourcentage

Dans une entreprise ($A$), $80\,\%$ des employés utilisent les transports en commun ($B$) : $p_{B,A}=0{,}8$. Parmi ceux-ci, $25\,\%$ prennent le train ($C$) : $p_{C,B}=0{,}25$.

Quelle proportion des employés de l'entreprise prend le train ?

On applique $p_{C,A} = p_{C,B}\times p_{B,A}$.

\[ p_{C,A} = 0{,}25\times 0{,}8 = 0{,}2 \]

$20\,\%$ des employés de l'entreprise prennent le train.