Seconde · Chapitre 12

Probabilités

Exercices corrigés — issue/évènement, modélisation, évènement contraire, réunion/intersection, probabilité conditionnelle, arbre pondéré.
Ex. 1 — Issue et évènement Ex. 2 — Modélisation Ex. 3 — Évènement contraire Ex. 4 — Réunion et intersection Ex. 5 — Probabilité conditionnelle Ex. 6 — Arbre pondéré
Exercice 1
Issue et évènement

Une roue de loterie truquée comporte 4 secteurs numérotés $1$, $2$, $3$, $4$, de probabilités respectives $0{,}1$ ; $0{,}2$ ; $0{,}25$ et $0{,}45$.

  1. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.
  2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$~: «~obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$~».

a. On additionne les probabilités de toutes les issues.

\[ 0{,}1+0{,}2+0{,}25+0{,}45 = 1 \]

La somme vaut bien $1$ : c'est une loi de probabilité valide.

b. $A=\{3\,;\,4\}$. On additionne les probabilités des issues qui le constituent.

\[ P(A) = P(3)+P(4) = 0{,}25+0{,}45 = 0{,}7 \]
Exercice 2
Modélisation

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (toutes les issues sont équiprobables).

Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : « la carte est un as ou une figure (roi, dame, valet) ».

Il y a $4$ as et $12$ figures (rois, dames, valets), soit $16$ cartes favorables sur $32$.

\[ P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \]
Exercice 3
Évènement contraire

Dans une population, la probabilité qu'une personne prise au hasard soit non-fumeuse est $0{,}78$.

Quelle est la probabilité qu'elle soit fumeuse ?

« Fumeuse » est l'évènement contraire de « non-fumeuse ».

\[ P(\text{fumeuse}) = 1-P(\text{non-fumeuse}) = 1-0{,}78 = 0{,}22 \]
Exercice 4
Réunion et intersection

Dans une classe, on a $P(A)=0{,}6$ (l'élève pratique un sport), $P(B)=0{,}4$ (l'élève joue d'un instrument), et $P(A\cap B)=0{,}15$ (les deux à la fois).

Calculer la probabilité qu'un élève pris au hasard pratique un sport ou joue d'un instrument.

On applique $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

\[ P(A\cup B) = 0{,}6+0{,}4-0{,}15 = 0{,}85 \]
Exercice 5
Probabilité conditionnelle

Dans un lycée, $55\,\%$ des élèves sont des filles ($F$), et parmi les filles, $30\,\%$ pratiquent l'option musique ($M$).

  1. Traduire ces informations en termes de probabilités : donner $P(F)$ et $P_F(M)$.
  2. Calculer $P(F\cap M)$, la probabilité qu'un élève pris au hasard soit une fille pratiquant l'option musique.

a. « $55\,\%$ des élèves sont des filles » donne $P(F)$ ; « parmi les filles, $30\,\%$ » est une proportion conditionnelle, donc $P_F(M)$.

\[ P(F) = 0{,}55 \qquad\qquad P_F(M) = 0{,}30 \]

b. On applique $P(F\cap M) = P(F)\times P_F(M)$.

\[ P(F\cap M) = 0{,}55\times 0{,}30 = 0{,}165 \]
Exercice 6
Arbre pondéré

Une urne contient des boules dont $40\,\%$ sont rouges ($R$) et le reste bleues ($\overline{R}$). Si la boule est rouge, la probabilité qu'elle soit numérotée $B$ (un second caractère) est $0{,}25$ ; si elle est bleue, cette probabilité est $0{,}6$.

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré (donner les probabilités de chaque branche).
  2. Calculer $P(R\cap B)$.

a. Premier niveau : $R$ et $\overline{R}$. Deuxième niveau, à partir de chaque branche : $B$ et $\overline{B}$.

\[ P(R)=0{,}4 \quad P(\overline{R})=0{,}6 \qquad\qquad P_R(B)=0{,}25 \quad P_R(\overline{B})=0{,}75 \qquad\qquad P_{\overline{R}}(B)=0{,}6 \quad P_{\overline{R}}(\overline{B})=0{,}4 \]

b. $P(R\cap B)$ est la probabilité du chemin $R$ puis $B$ : on multiplie les probabilités le long de ce chemin.

\[ P(R\cap B) = P(R)\times P_R(B) = 0{,}4\times 0{,}25 = 0{,}1 \]