Seconde · Chapitre 5

Fonction inverse

Exercices corrigés — expression, variations, représentation graphique, équations, signe, inéquations quotient.
Ex. 1 — Expression Ex. 2 — Variations Ex. 3 — Représentation graphique Ex. 4 — Équations Ex. 5 — Signe et inéquations Ex. 6 — Inéquation quotient
Exercice 1
Expression

On considère la fonction inverse $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

  1. Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
  2. Calculer $f(-2)$ et $f\left(\dfrac{3}{4}\right)$.

a. La fonction inverse n'est pas définie en $0$ (une division par $0$ est impossible).

L'ensemble de définition est $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

b. On remplace $x$ par la valeur demandée dans $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

\[ f(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \qquad\qquad f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \]
Exercice 2
Variations

Sans calculer les quotients, comparer, en justifiant à l'aide des variations de la fonction inverse :

  1. $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{1}{2}$
  2. $\dfrac{1}{-3}$ et $\dfrac{1}{-8}$

a. On a $2 \leqslant 6$, avec $2$ et $6$ strictement positifs : la fonction inverse est décroissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, donc elle inverse l'ordre.

\[ 2\leqslant 6 \implies \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{6} \qquad\text{soit}\qquad \frac{1}{6}\leqslant\frac{1}{2} \]

b. On a $-8 \leqslant -3$, avec $-8$ et $-3$ strictement négatifs : la fonction inverse est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,0\right[$, donc elle inverse l'ordre.

\[ -8\leqslant -3 \implies \frac{1}{-8}\geqslant\frac{1}{-3} \qquad\text{soit}\qquad \frac{1}{-3}\leqslant\frac{1}{-8} \]
Exercice 3
Représentation graphique
  1. Le point $\left(4\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$ appartient-il à l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{1}{x}$ ? Justifier.
  2. Donner les coordonnées du symétrique du point $\left(-2\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ par rapport à l'origine $O$.

a. On calcule l'image de $4$ par la fonction inverse et on compare avec l'ordonnée du point.

\[ f(4) = \frac{1}{4} \]

Oui, le point appartient à la courbe puisque $f(4)=\dfrac{1}{4}$.

b. La courbe est symétrique par rapport à l'origine : le symétrique de $(x\,;\,y)$ est $(-x\,;\,-y)$.

Le symétrique de $\left(-2\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ est $\left(2\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$.

Exercice 4
Équations

Résoudre dans $\mathbb{R}^{*}$ :

  1. $\dfrac{1}{x} = 5$
  2. $\dfrac{1}{x} = -\dfrac{2}{7}$
  3. $\dfrac{1}{x} = 0$

a. On applique la propriété $\dfrac{1}{x}=k \iff x=\dfrac{1}{k}$ avec $k=5$.

\[ \mathcal{S} = \left\{\frac{1}{5}\right\} \]

b. On applique la même propriété avec $k=-\dfrac{2}{7}$.

\[ \mathcal{S} = \left\{\frac{1}{-\frac{2}{7}}\right\} = \left\{-\frac{7}{2}\right\} \]

c. Un inverse n'est jamais nul : l'équation n'a pas de solution.

$\mathcal{S} = \varnothing$.

Exercice 5
Signe et inéquations
  1. Donner le signe de $\dfrac{1}{x}$ selon les valeurs de $x$.
  2. Résoudre $\dfrac{1}{x} > 0$.
  3. Résoudre $\dfrac{1}{x} \geqslant 0$.

a. Le signe de $\dfrac{1}{x}$ est le même que celui de $x$.

$\dfrac{1}{x}$ est négatif sur $\left]-\infty\,;\,0\right[$ et positif sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

b. D'après le tableau de signes, $\dfrac{1}{x}$ est strictement positif exactement sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

$\mathcal{S} = \left]0\,;\,+\infty\right[$.

c. Comme $\dfrac{1}{x}$ n'est jamais nul, la solution est la même qu'en b.

$\mathcal{S} = \left]0\,;\,+\infty\right[$.

Exercice 6
Inéquation quotient

Résoudre dans $\mathbb{R}$, à l'aide d'un tableau de signes, l'inéquation :

\[ \frac{4-2x}{x-3} < 0 \]

On cherche la valeur qui annule chaque facteur.

\[ 4-2x=0 \iff x=2 \qquad\qquad x-3=0 \iff x=3 \]

On étudie le signe de chaque facteur, puis celui du quotient (la valeur $3$ est exclue) :

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline 4-2x & & + & 0 & - & & - & \\ x-3 & & - & & - & 0 & + & \\ \hline \text{quotient} & & - & 0 & + & \| & - & \end{array} \]

Le quotient est strictement négatif avant $2$ et après $3$ (borne $3$ exclue, car elle annule le dénominateur).

$\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,2\right[\,\cup\,\left]3\,;\,+\infty\right[$.