Seconde · Chapitre 9

Équations de droites

Exercices corrigés — vecteur directeur, équations cartésiennes, droites parallèles, équation réduite, droite verticale, intersection.
Ex. 1 — Vecteur directeur Ex. 2 — Équation cartésienne Ex. 3 — Équation et vecteur directeur Ex. 4 — Droites parallèles Ex. 5 — Équation réduite Ex. 6 — Droite verticale Ex. 7 — Intersection
Exercice 1
Vecteur directeur

Une droite $d$ passe par $A(-2\,;\,3)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$.

Le point $C(6\,;\,5)$ appartient-il à $d$ ?

$C\in d \iff \overrightarrow{AC}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. On calcule $\overrightarrow{AC}$ puis le déterminant.

\[ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-(-2)\\5-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} \qquad \det\left(\overrightarrow{AC}\,,\,\vec{u}\right) = 8\times 1-2\times 4 = 0 \]

Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires, donc $C$ appartient à $d$.

Exercice 2
Équation cartésienne

On donne la droite $d$ d'équation cartésienne $3x-2y+4=0$.

  1. Le point $E(0\,;\,2)$ appartient-il à $d$ ?
  2. Le point $F(2\,;\,3)$ appartient-il à $d$ ?

On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point dans l'équation, et on vérifie si le résultat est $0$.

\[ \text{Pour } E\,:\quad 3\times 0-2\times 2+4 = 0-4+4=0 \]

Le résultat est $0$ : $E$ appartient à $d$.

\[ \text{Pour } F\,:\quad 3\times 2-2\times 3+4 = 6-6+4=4\neq 0 \]

Le résultat n'est pas $0$ : $F$ n'appartient pas à $d$.

Exercice 3
Équation et vecteur directeur

Donner un vecteur directeur de chacune des droites d'équations suivantes :

  1. $4x-3y+2=0$
  2. $-x+5y-7=0$

Pour une droite d'équation $ax+by+c=0$, un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.

a. Ici $a=4$ et $b=-3$.

\[ \vec{u}\begin{pmatrix}-(-3)\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \]

b. Ici $a=-1$ et $b=5$.

\[ \vec{u}\begin{pmatrix}-5\\-1\end{pmatrix} \]
Exercice 4
Droites parallèles

Les droites $d\,:\,3x+y-2=0$ et $d'\,:\,6x+2y+5=0$ sont-elles parallèles ? Justifier.

On détermine un vecteur directeur de chaque droite, puis on calcule le déterminant de ces deux vecteurs.

\[ \vec{u}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} \qquad \vec{u}'\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix} \qquad \det(\vec{u}\,,\,\vec{u}') = (-1)\times 6-3\times(-2) = -6+6=0 \]

Le déterminant est nul : les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc $d$ et $d'$ sont parallèles.

Exercice 5
Équation réduite

Une droite $d$ passe par $A(-1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-4)$.

Déterminer l'équation réduite de $d$.

On calcule la pente $m$ à l'aide des coordonnées de $A$ et $B$.

\[ m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{-4-4}{3-(-1)} = \frac{-8}{4} = -2 \]

On remplace dans $y=mx+p$ avec les coordonnées de $A$ pour trouver $p$.

\[ 4 = -2\times(-1)+p \iff 4 = 2+p \iff p=2 \]

L'équation réduite de $d$ est $y=-2x+2$.

Exercice 6
Droite verticale

On donne les points $G(5\,;\,-2)$ et $H(5\,;\,9)$.

  1. Pourquoi la droite $(GH)$ n'a-t-elle pas d'équation réduite ?
  2. Donner une équation cartésienne de $(GH)$.

a. On observe les abscisses de $G$ et $H$.

$G$ et $H$ ont la même abscisse ($5$) : la droite $(GH)$ est parallèle à l'axe des ordonnées, elle n'a donc pas d'équation réduite.

b. Une droite verticale a pour équation $x=k$, où $k$ est l'abscisse commune.

$(GH)\,:\,x=5$.

Exercice 7
Intersection

On donne $d\,:\,y=3x-4$ et $d'\,:\,y=-x+8$.

  1. Justifier que $d$ et $d'$ sont sécantes.
  2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

a. On compare les pentes des deux droites.

$d$ a pour pente $3$ et $d'$ a pour pente $-1$ : comme $3\neq -1$, les droites sont sécantes.

b. On résout l'équation $mx+p=m'x+p'$.

\[ 3x-4 = -x+8 \iff 4x=12 \iff x=3 \]

On calcule l'ordonnée avec l'équation de $d$ : $y=3\times 3-4=5$.

Les droites sont sécantes au point $(3\,;\,5)$.