Seconde · Chapitre 8

Colinéarité et parallélisme

Exercices corrigés — déterminant de deux vecteurs, vecteurs colinéaires, positions relatives de deux droites, parallélisme et alignement.
Ex. 1 — Déterminant Ex. 2 — Vecteurs colinéaires Ex. 3 — Positions relatives Ex. 4 — Parallélisme et alignement
Exercice 1
Déterminant

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$.

Calculer $\det(\vec{u}\,,\,\vec{v})$.

On applique $\det(\vec{u}\,,\,\vec{v}) = xy'-yx'$ avec $x=-3$, $y=5$, $x'=2$, $y'=-4$.

\[ \det(\vec{u}\,,\,\vec{v}) = (-3)\times(-4) - 5\times 2 = 12-10 = 2 \]
Exercice 2
Vecteurs colinéaires

Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? Justifier à l'aide d'un déterminant.

  1. $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-10\\4\end{pmatrix}$
  2. $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix}6\\13\end{pmatrix}$

a. On calcule le déterminant des deux vecteurs.

\[ \det(\vec{u}\,,\,\vec{v}) = 5\times 4-(-2)\times(-10) = 20-20 = 0 \]

Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires (on a $\vec{v}=-2\vec{u}$).

b. On calcule de même le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{w}$.

\[ \det(\vec{u}\,,\,\vec{w}) = 3\times 13-7\times 6 = 39-42 = -3 \]

Le déterminant est non nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exercice 3
Positions relatives

Pour chacune des situations suivantes, préciser si les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes, strictement parallèles, ou confondues.

  1. $\mathcal{D}\cap\mathcal{D}' = \{A\}$ avec $A$ un point donné.
  2. $\mathcal{D}\cap\mathcal{D}' = \mathcal{D} = \mathcal{D}'$.
  3. $\mathcal{D}\cap\mathcal{D}' = \varnothing$.

a. L'intersection est réduite à un seul point.

Les droites sont sécantes en $A$.

b. L'intersection contient tous les points des deux droites.

Les droites sont confondues.

c. L'intersection est vide : aucun point commun, et les droites ne sont pas confondues.

Les droites sont strictement parallèles.

Exercice 4
Parallélisme et alignement

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,3)$, $C(-2\,;\,0)$, $D(4\,;\,4)$.

  1. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
  2. Les points $A$, $C$ et $E(7\,;\,5)$ sont-ils alignés ?

a. $(AB)\parallel(CD) \iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires. On calcule leurs coordonnées puis leur déterminant.

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \qquad \det\left(\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{CD}\right) = 3\times 4-2\times 6 = 12-12=0 \]

Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires, donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

b. $A$, $C$, $E$ alignés $\iff \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}$ colinéaires.

\[ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \qquad \det\left(\overrightarrow{AC}\,,\,\overrightarrow{AE}\right) = (-3)\times 4-(-1)\times 6 = -12+6=-6 \]

Le déterminant n'est pas nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $A$, $C$ et $E$ ne sont pas alignés.