On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
a. On remplace $x$ par la valeur demandée dans $f(x)=x^2$.
b. On calcule $f(6)$.
Le point a pour coordonnées $(6\,;\,36)$.
Sans calculer les carrés, comparer, en justifiant à l'aide des variations de la fonction carré :
a. On a $-8 \leqslant -3 \leqslant 0$ : la fonction carré est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$, donc elle inverse l'ordre.
b. On a $0\leqslant 5\leqslant 9$ : la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,{+\infty}[$, donc elle conserve l'ordre.
a. On vérifie si l'ordonnée est bien égale au carré de l'abscisse.
L'égalité est vraie : oui, le point $(5\,;\,25)$ appartient à la parabole.
b. La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : les points d'abscisses $x$ et $-x$ ont la même ordonnée.
Le symétrique de $(-2\,;\,4)$ est le point $\mathbf{(2\,;\,4)}$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. Comme $81>0$, l'équation admet deux solutions opposées.
$S = \{-9\,;\,9\}$.
b. Comme $k=0$, il y a une unique solution.
$S = \{0\}$.
c. Comme $-16<0$, l'équation n'a aucune solution (un carré ne peut pas être négatif).
$S = \varnothing$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
a. Comme $25>0$, on utilise $x^2\leqslant k \iff x\in[-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}]$.
b. Comme $36>0$, on utilise $x^2\geqslant k \iff x\in\ ]-\infty\,;\,-\sqrt{k}]\cup[\sqrt{k}\,;\,{+\infty}[$.
c. Comme $-5\leqslant 0$, l'inégalité $x^2\geqslant -5$ est vraie pour tout réel $x$ (un carré est toujours positif ou nul).
$S = \mathbb{R}$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$, à l'aide d'un tableau de signes, l'inéquation :
On cherche la racine de chaque facteur.
On étudie le signe de chaque facteur, puis celui du produit :
Le produit est positif ou nul entre les deux racines, bornes incluses.
$S = [2\,;\,4]$.