Première · Chapitre 10

Variables aléatoires

Exercices corrigés — loi de probabilité, espérance, variance, écart-type, comparaison de jeux.
Ex. 1 — Compléter une loi Ex. 2 — Construire une loi Ex. 3 — Espérance et jeu équitable Ex. 4 — Variance et écart-type Ex. 5 — Comparer deux jeux
Exercice 1
Compléter une loi

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par~:

$x_i$$-3$$1$$4$$6$
$P(X=x_i)$$0{,}1$$0{,}35$$\ ?$$0{,}25$
  1. Déterminer $P(X=4)$.
  2. Calculer $P(X<4)$.
  3. Calculer $P(X\geqslant 1)$.

a. La somme des probabilités de la loi vaut $1$.

\[ P(X=4) = 1-(0{,}1+0{,}35+0{,}25) = 1-0{,}7 = 0{,}3 \]

b. $\{X<4\}$ regroupe les issues associées à $-3$ et $1$.

\[ P(X<4) = P(X=-3)+P(X=1) = 0{,}1+0{,}35 = 0{,}45 \]

c. $\{X\geqslant 1\}$ regroupe les issues associées à $1$, $4$ et $6$.

\[ P(X\geqslant 1) = 0{,}35+0{,}3+0{,}25 = 0{,}9 \]
Exercice 2
Construire une loi

Une urne contient $4$ boules blanches et $2$ boules noires. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une seconde boule. Soit $X$ le nombre de boules noires obtenues sur les deux tirages.

  1. Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
  2. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
  3. Calculer $E(X)$.

a. On peut obtenir $0$, $1$ ou $2$ boule(s) noire(s).

b. À chaque tirage, $P(\text{noire})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ et $P(\text{blanche})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Les tirages étant indépendants (tirage avec remise)~:

\[ P(X=0) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \qquad P(X=2) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \]
\[ P(X=1) = 2\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \]
$x_i$$0$$1$$2$
$P(X=x_i)$$\frac{4}{9}$$\frac{4}{9}$$\frac{1}{9}$

(on vérifie que $\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=1$)

c. On applique $E(X)=\sum x_ip_i$.

\[ E(X) = 0\times\frac{4}{9}+1\times\frac{4}{9}+2\times\frac{1}{9} = \frac{4}{9}+\frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
Exercice 3
Espérance et jeu équitable

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à $6$ faces. Si on obtient $6$, on gagne $10$~€ ; si on obtient $3$, on gagne $2$~€ ; sinon, on ne gagne rien. Soit $X$ le gain (en euros) du joueur.

  1. Donner la loi de probabilité de $X$.
  2. Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
  3. Ce jeu coûte $2$~€ à jouer. Est-il favorable, défavorable, ou équitable pour le joueur, en moyenne ?

a. $X$ prend la valeur $10$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ (obtenir $6$), $2$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ (obtenir $3$), et $0$ avec probabilité $\frac{4}{6}$ (les $4$ autres faces).

$x_i$$0$$2$$10$
$P(X=x_i)$$\frac{4}{6}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{6}$

b. On applique $E(X)=\sum x_ip_i$.

\[ E(X) = 0\times\frac{4}{6}+2\times\frac{1}{6}+10\times\frac{1}{6} = \frac{2+10}{6} = 2 \]

En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne $2$~€ par partie.

c. Le gain net moyen est $E(X)$ moins la mise.

\[ 2-2 = 0 \]

Le jeu est donc équitable : ni favorable, ni défavorable au joueur en moyenne.

Exercice 4
Variance et écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire de loi~:

$x_i$$0$$2$$5$
$P(X=x_i)$$0{,}4$$0{,}4$$0{,}2$
  1. Calculer $E(X)$.
  2. Calculer $V(X)$ par la définition.
  3. Vérifier à l'aide de la formule de König-Huygens.
  4. En déduire $\sigma(X)$ (arrondir au centième).

a. On applique $E(X)=\sum x_ip_i$.

\[ E(X) = 0\times 0{,}4+2\times 0{,}4+5\times 0{,}2 = 0{,}8+1 = 1{,}8 \]

b. On applique $V(X)=\sum\left[x_i-E(X)\right]^2p_i$.

\[ V(X) = (0-1{,}8)^2\times 0{,}4+(2-1{,}8)^2\times 0{,}4+(5-1{,}8)^2\times 0{,}2 \]
\[ V(X) = 3{,}24\times 0{,}4+0{,}04\times 0{,}4+10{,}24\times 0{,}2 = 1{,}296+0{,}016+2{,}048 = 3{,}36 \]

c. On calcule d'abord $E(X^2)$.

\[ E(X^2) = 0^2\times 0{,}4+2^2\times 0{,}4+5^2\times 0{,}2 = 1{,}6+5 = 6{,}6 \]
\[ V(X) = E(X^2)-\big(E(X)\big)^2 = 6{,}6-1{,}8^2 = 6{,}6-3{,}24 = 3{,}36 \]

On retrouve bien le même résultat qu'en b.

d. On applique $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

\[ \sigma(X) = \sqrt{3{,}36} \approx 1{,}83 \]
Exercice 5
Comparer deux jeux

Deux jeux sont proposés à un joueur.

Jeu A~: gain $X_A$ tel que $P(X_A=4)=0{,}1$, $P(X_A=1)=0{,}6$, $P(X_A=-1)=0{,}3$.

Jeu B~: gain $X_B$ tel que $P(X_B=10)=0{,}05$, $P(X_B=0)=0{,}75$, $P(X_B=-1)=0{,}2$.

  1. Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$.
  2. Quel jeu est le plus avantageux, en moyenne, pour le joueur ?

a. On applique $E(X)=\sum x_ip_i$ pour chaque jeu.

\[ E(X_A) = 4\times 0{,}1+1\times 0{,}6+(-1)\times 0{,}3 = 0{,}4+0{,}6-0{,}3 = 0{,}7 \]
\[ E(X_B) = 10\times 0{,}05+0\times 0{,}75+(-1)\times 0{,}2 = 0{,}5-0{,}2 = 0{,}3 \]

b. On compare les deux espérances.

Comme $E(X_A)=0{,}7>E(X_B)=0{,}3$, le jeu A est le plus avantageux en moyenne pour le joueur.