Première · Chapitre 9

Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices corrigés — arbres pondérés, probabilités totales, indépendance, répétition d'épreuves de Bernoulli.
Ex. 1 — Arbre pondéré Ex. 2 — Probabilités totales (contexte) Ex. 3 — Indépendance Ex. 4 — Répétition d'épreuves Ex. 5 — Expériences indépendantes
Exercice 1
Arbre pondéré

On donne un arbre pondéré modélisant une expérience aléatoire, avec $P(A)=0{,}6$, $P_A(B)=0{,}25$ et $P_{\overline{A}}(B)=0{,}7$.

  1. Calculer $P(A\cap B)$.
  2. Calculer $P(B)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
  3. En déduire $P_B(A)$ (arrondir au centième).

a. On applique $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

\[ P(A\cap B) = 0{,}6\times 0{,}25 = 0{,}15 \]

b. On a $P(\overline{A})=1-0{,}6=0{,}4$, puis on applique la formule des probabilités totales.

\[ P(B) = P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) = 0{,}15+0{,}4\times 0{,}7 = 0{,}15+0{,}28 = 0{,}43 \]

c. On applique $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

\[ P_B(A) = \frac{0{,}15}{0{,}43} \approx 0{,}35 \]
Exercice 2
Probabilités totales (contexte)

Un club sportif compte $150$ adhérents~: $40$ pratiquent le tennis, $60$ le badminton, et les autres pratiquent uniquement la natation. Cette année, $5\,\%$ des joueurs de tennis se sont blessés, ainsi que $8\,\%$ des joueurs de badminton et $2\,\%$ des nageurs.

On choisit au hasard un adhérent. On note $T$, $Bd$, $N$ et $Bl$ les événements « l'adhérent pratique le tennis », « ... le badminton », « ... uniquement la natation » et « l'adhérent s'est blessé ».

  1. Calculer $P(T)$, $P(Bd)$ et $P(N)$.
  2. Calculer $P(Bl)$.
  3. Sachant que l'adhérent choisi s'est blessé, calculer la probabilité qu'il soit nageur (arrondir au millième).

a. $T$, $Bd$, $N$ forment une partition des $150$ adhérents ($150-40-60=50$ nageurs).

\[ P(T)=\frac{40}{150}\approx 0{,}267 \qquad P(Bd)=\frac{60}{150}=0{,}4 \qquad P(N)=\frac{50}{150}\approx 0{,}333 \]

b. On applique la formule des probabilités totales avec la partition $(T,Bd,N)$.

\[ P(Bl) = P(T)\times 0{,}05+P(Bd)\times 0{,}08+P(N)\times 0{,}02 = \frac{40\times 0{,}05+60\times 0{,}08+50\times 0{,}02}{150} \]
\[ P(Bl) = \frac{2+4{,}8+1}{150} = \frac{7{,}8}{150} = 0{,}052 \]

c. On cherche $P_{Bl}(N)=\dfrac{P(N\cap Bl)}{P(Bl)}$, avec $P(N\cap Bl)=P(N)\times 0{,}02$.

\[ P(N\cap Bl) = \frac{50}{150}\times 0{,}02 \approx 0{,}00667 \]
\[ P_{Bl}(N) = \frac{0{,}00667}{0{,}052} \approx 0{,}128 \]
Exercice 3
Indépendance

On donne $P(A)=0{,}45$, $P(B)=0{,}6$ et $P(A\cup B)=0{,}78$.

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

On calcule d'abord $P(A\cap B)$ à l'aide de $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

\[ P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) = 0{,}45+0{,}6-0{,}78 = 0{,}27 \]

On compare à $P(A)\times P(B)$.

\[ P(A)\times P(B) = 0{,}45\times 0{,}6 = 0{,}27 \]

Comme $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Exercice 4
Répétition d'épreuves

Un archer a une probabilité $0{,}7$ d'atteindre la cible à chaque tir, et les tirs sont indépendants les uns des autres. Il effectue $3$ tirs.

  1. Calculer la probabilité qu'il atteigne la cible aux $3$ tirs.
  2. Calculer la probabilité qu'il ne l'atteigne à aucun des $3$ tirs.
  3. En déduire la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois.

a. Les tirs étant indépendants, les probabilités se multiplient le long du chemin « succès, succès, succès ».

\[ 0{,}7^3 = 0{,}343 \]

b. De même, pour trois échecs consécutifs (probabilité d'échec $1-0{,}7=0{,}3$ à chaque tir).

\[ 0{,}3^3 = 0{,}027 \]

c. L'événement contraire de « atteindre la cible au moins une fois » est « ne jamais l'atteindre ».

\[ P(\text{au moins une fois}) = 1-0{,}027 = 0{,}973 \]
Exercice 5
Expériences indépendantes

On lance un dé équilibré à $6$ faces, puis on tire une carte parmi $4$ cartes numérotées de $1$ à $4$, ces deux expériences étant indépendantes. On note $A$ l'événement « le dé indique un multiple de $3$ » et $B$ l'événement « la carte tirée porte un numéro pair ».

  1. Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
  2. Justifier, sans calcul supplémentaire, que $A$ et $B$ sont indépendants.
  3. Calculer $P(A\cap B)$.

a. Les multiples de $3$ parmi $1,\dots,6$ sont $3$ et $6$~; les numéros pairs parmi $1,\dots,4$ sont $2$ et $4$.

\[ P(A) = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \qquad\qquad P(B) = \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

b. $A$ ne dépend que du résultat du dé, et $B$ ne dépend que de la carte tirée. Comme les deux expériences (lancer de dé et tirage de carte) sont indépendantes, tout événement lié uniquement à l'une est indépendant de tout événement lié uniquement à l'autre.

c. Par indépendance, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

\[ P(A\cap B) = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \]