Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$. On considère la droite $d$ passant par $A(-2\,;4)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}$.
a. Une équation de $d$ est de la forme $5x-3y+c=0$. On détermine $c$ en utilisant $A\in d$.
$d~:\ 5x-3y+22=0$
b. On remplace les coordonnées de $B$ dans l'équation de $d$.
$B$ n'appartient pas à $d$.
Soit $M(2\,;-1)$, $N(6\,;3)$, $P(0\,;5)$ et $d$ la droite perpendiculaire à $(MN)$ passant par $P$.
a. On calcule $\overrightarrow{MN}$ (arrivée moins origine).
Comme $d\perp(MN)$, tout vecteur directeur de $(MN)$ est orthogonal à $d$, donc $\overrightarrow{MN}$ est un vecteur normal à $d$.
b. On simplifie $\overrightarrow{MN}$ en un vecteur normal colinéaire $(1\,;1)$. Une équation de $d$ est donc de la forme $x+y+c=0$, avec $P\in d$.
$d~:\ x+y-5=0$
c. L'axe des abscisses a pour équation $y=0$.
$d$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(5\,;0)$.
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A(-1\,;3)$ et de rayon $5$.
a. On applique $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.
b. On remplace les coordonnées de $B$ dans le membre de gauche.
On obtient exactement $25=r^2$, donc $B$ appartient à $\mathcal{C}$.
c. On développe les carrés.
Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation $x^2+y^2+4x-10y+13=0$.
On regroupe les termes en $x$ et en $y$, puis on fait apparaître deux carrés parfaits.
Comme $16>0$, cette équation définit bien un cercle, de centre $(-2\,;5)$ et de rayon $\sqrt{16}=4$.
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega(1\,;5)$ et de rayon $\sqrt{5}$, et $d$ la droite d'équation $x-2y+3=0$.
a. On remplace les coordonnées de $\Omega$ dans l'équation de $d$.
$\Omega$ n'appartient donc pas à $d$.
b. On teste d'abord $C$ dans l'équation de $d$.
$C$ appartient donc à $d$. On teste ensuite $C$ par rapport au cercle $\mathcal{C}$, en calculant $\Omega C^2$.
Comme $8\neq 5=r^2$, $C$ n'appartient pas à $\mathcal{C}$. Ainsi, $C$ appartient à $d$ mais pas à $\mathcal{C}$.