Première · Chapitre 7

Calcul vectoriel — produit scalaire

Exercices corrigés — produit scalaire (angle, projeté orthogonal, coordonnées), propriétés, orthogonalité, Al-Kashi, cercle de diamètre.
Ex. 1 — Calcul via l'angle Ex. 2 — Projeté orthogonal Ex. 3 — Expression analytique Ex. 4 — Droites perpendiculaires Ex. 5 — Al-Kashi et cercle de diamètre
Exercice 1
Calcul via l'angle

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=9$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

On applique la définition $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\left(\widehat{BAC}\right)$.

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 6\times 9\times\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 54\times\frac{1}{2} = 27 \]
Exercice 2
Projeté orthogonal

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=8$. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. On sait que $AH=3$ et que $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraire.

Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

On utilise $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$, avec le signe $-$ car les vecteurs sont de sens contraire.

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH} = -AB\times AH = -8\times 3 = -24 \]
Exercice 3
Expression analytique

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
  2. Calculer $\|\vec{u}\|$ puis $\|\vec{v}\|$.
  3. En déduire $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ à l'aide d'une propriété du cours, puis vérifier le résultat en calculant directement les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$.

a. On applique $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = (-3)\times 5+4\times 2 = -15+8 = -7 \]

b. On applique $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \qquad\qquad \|\vec{v}\| = \sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29} \]

c. On applique $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}$.

\[ \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 5^2+\left(\sqrt{29}\right)^2+2\times(-7) = 25+29-14 = 40 \]

Vérification directe~: $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$, donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=2^2+6^2=4+36=40$. Les deux méthodes concordent.

Exercice 4
Droites perpendiculaires

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$, $C(2\,;5)$ et $D(3\,;2)$.

  1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
  2. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

a. On calcule les coordonnées de chaque vecteur (arrivée moins origine).

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} \qquad\qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}3-2\\2-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} \]

b. $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$.

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 3\times 1+1\times(-3) = 3-3 = 0 \]

Le produit scalaire est nul, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

Exercice 5
Al-Kashi et cercle de diamètre
  1. Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=8$, $AC=5$ et $\widehat{A}=120°$. Calculer $BC$ (valeur exacte, puis arrondie au dixième).
  2. Dans un repère orthonormé, soit $A(-1\,;0)$ et $B(3\,;0)$. Le point $M(1\,;2)$ appartient-il au cercle de diamètre $[AB]$ ? Justifier.

1. On applique la formule d'Al-Kashi avec $a=BC$, $b=AC=5$, $c=AB=8$.

\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}) = 5^2+8^2-2\times 5\times 8\times\cos(120°) \]

Comme $\cos(120°)=-\dfrac{1}{2}$~:

\[ a^2 = 25+64-80\times\left(-\frac{1}{2}\right) = 89+40 = 129 \qquad\qquad a=\sqrt{129}\approx 11{,}4 \]

2. $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

\[ \overrightarrow{MA}\begin{pmatrix}-1-1\\0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix} \qquad\qquad \overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}3-1\\0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} \]
\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (-2)\times 2+(-2)\times(-2) = -4+4 = 0 \]

Le produit scalaire est nul, donc $M$ appartient bien au cercle de diamètre $[AB]$.