Première · Physique-chimie · Chapitre 7

Énergie mécanique

Exercices corrigés — travail d'une force, énergie cinétique, théorème de l'énergie cinétique et conservation de l'énergie mécanique.
Ex. 1 — Travail d'une force Ex. 2 — Énergie cinétique Ex. 3 — Théorème de l'énergie cinétique Ex. 4 — Conservation de l'énergie mécanique Ex. 5 — Énergie dissipée
Formules du chapitre : $W_{AB}(\vec{F}) = F\times AB\times\cos\alpha$ ; $W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A-z_B)$ ; $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ ; $\Delta E_c = \sum W_{AB}$ ; $E_m = E_c + mgz$. Donnée : $g = 9{,}81$ N·kg⁻¹.
Exercice 1
Travail d'une force

Une caisse est tirée en ligne droite sur $AB = 12{,}0$ m par une force constante $\vec{F}$ de valeur $F = 150$ N, inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport au déplacement.

  1. Calculer le travail de $\vec{F}$ pour $\alpha = 0^{\circ}$, puis pour $\alpha = 40^{\circ}$, puis pour $\alpha = 90^{\circ}$.
  2. Interpréter physiquement chacun de ces trois résultats.
  3. Pour quelle valeur de $\alpha$ le travail devient-il résistant ?

a. On applique $W = F\times AB\times\cos\alpha$.

\[ \alpha = 0^{\circ} : W = 150\times 12{,}0\times 1 = 1{,}80\times 10^{3}\ \text{J} \]
\[ \alpha = 40^{\circ} : W = 150\times 12{,}0\times\cos(40^{\circ}) = 1{,}38\times 10^{3}\ \text{J} \]
\[ \alpha = 90^{\circ} : W = 150\times 12{,}0\times 0 = 0\ \text{J} \]

b. Interprétation.

  • $\alpha = 0^{\circ}$ : la force est entièrement dans le sens du déplacement, le travail est maximal et moteur ;
  • $\alpha = 40^{\circ}$ : seule la composante de $\vec{F}$ le long du déplacement travaille, d'où un travail plus faible ;
  • $\alpha = 90^{\circ}$ : la force est perpendiculaire au déplacement, elle ne travaille pas — c'est le cas de la réaction normale d'un support horizontal.

c. Condition sur le signe.

Le travail est résistant lorsque $\cos\alpha < 0$, c'est-à-dire pour $\alpha > 90^{\circ}$ : la force s'oppose alors au déplacement.

Exercice 2
Énergie cinétique

Une voiture de masse $m = 1{,}2\times 10^{3}$ kg roule à $v_1 = 50$ km·h⁻¹, puis à $v_2 = 100$ km·h⁻¹.

  1. Calculer son énergie cinétique dans chaque cas.
  2. Par quel facteur l'énergie cinétique a-t-elle été multipliée ?
  3. Les freins exercent une force de valeur constante. En déduire par quel facteur la distance de freinage est multipliée.

a. Il faut impérativement convertir les vitesses en m·s⁻¹ (diviser par 3,6).

\[ v_1 = \frac{50}{3{,}6} = 13{,}9\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \qquad\qquad v_2 = \frac{100}{3{,}6} = 27{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]
\[ E_{c1} = \frac{1}{2}\times 1{,}2\times 10^{3}\times (13{,}9)^2 = 1{,}2\times 10^{5}\ \text{J} \]
\[ E_{c2} = \frac{1}{2}\times 1{,}2\times 10^{3}\times (27{,}8)^2 = 4{,}6\times 10^{5}\ \text{J} \]

b. On calcule le rapport.

\[ \frac{E_{c2}}{E_{c1}} = \frac{4{,}6\times 10^{5}}{1{,}2\times 10^{5}} = 4 \]

L'énergie cinétique dépend du carré de la vitesse : doubler la vitesse la quadruple.

c. Application du théorème de l'énergie cinétique au freinage.

Lors du freinage jusqu'à l'arrêt, $0 - E_c = -f\times d$, soit $d = \dfrac{E_c}{f}$. La force $f$ étant la même dans les deux cas, la distance de freinage est proportionnelle à l'énergie cinétique.

Elle est donc, elle aussi, multipliée par 4 : c'est exactement le message des campagnes de sécurité routière.

Exercice 3
Théorème de l'énergie cinétique

Un skieur de masse $m = 75$ kg (équipement compris) part sans vitesse initiale du haut d'une piste. Il descend un dénivelé $h = 25$ m en parcourant une distance $L = 120$ m. Les frottements exercent une force constante de valeur $f = 55$ N.

  1. Faire le bilan des forces et calculer le travail de chacune.
  2. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et calculer la vitesse en bas de piste.
  3. Quelle serait cette vitesse en l'absence de frottements ?

a. Bilan des forces : le poids, la réaction normale de la neige et les frottements.

  • Poids : $W(\vec{P}) = m\,g\,h = 75\times 9{,}81\times 25 = 1{,}84\times 10^{4}$ J (moteur, le skieur descend) ;
  • Réaction normale : perpendiculaire au déplacement, donc $W(\vec{R}) = 0$ J ;
  • Frottements : $W(\vec{f}) = -f\times L = -55\times 120 = -6{,}60\times 10^{3}$ J (résistant).

b. Théorème de l'énergie cinétique, avec $v_A = 0$.

\[ \frac{1}{2}mv_B^2 - 0 = 1{,}84\times 10^{4} - 6{,}60\times 10^{3} = 1{,}18\times 10^{4}\ \text{J} \]
\[ v_B = \sqrt{\frac{2\times 1{,}18\times 10^{4}}{75}} = 17{,}7\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 64\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} \]

c. Sans frottements, seul le poids travaille.

\[ \frac{1}{2}mv_B^2 = m\,g\,h \iff v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times 9{,}81\times 25} = 22{,}1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 80\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} \]

Les frottements ont donc dissipé $6{,}60\times 10^{3}$ J, essentiellement sous forme thermique. On remarque que la masse disparaît dans ce dernier calcul.

Exercice 4
Conservation de l'énergie mécanique

Un pendule est constitué d'une bille de masse $m = 200$ g suspendue à un fil de longueur $\ell = 80$ cm. On l'écarte d'un angle tel que la bille se trouve à une hauteur $h = 15$ cm au-dessus de sa position la plus basse, puis on la lâche sans vitesse. Les frottements sont négligés.

  1. Calculer l'énergie mécanique du système au point de départ, en prenant l'origine des altitudes à la position la plus basse.
  2. En déduire la vitesse de la bille au passage par sa position la plus basse.
  3. Le résultat dépend-il de la masse de la bille ? Et de la longueur du fil ?

a. Au départ, la bille est immobile : son énergie cinétique est nulle.

\[ E_m = E_c + E_{pp} = 0 + m\,g\,h = 0{,}200\times 9{,}81\times 0{,}15 = 0{,}294\ \text{J} \]

b. Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve. Au point le plus bas, $z = 0$ donc $E_{pp} = 0$.

\[ E_m = \frac{1}{2}mv^2 \iff v = \sqrt{\frac{2\,E_m}{m}} = \sqrt{\frac{2\times 0{,}294}{0{,}200}} = 1{,}7\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

c. Discussion.

En écrivant directement $mgh = \frac{1}{2}mv^2$, la masse se simplifie : $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times 9{,}81\times 0{,}15} = 1{,}7$ m·s⁻¹. Le résultat ne dépend donc pas de la masse.

Il ne dépend pas non plus de la longueur du fil : seule compte la hauteur de chute $h$. La longueur du fil intervient en revanche sur la période des oscillations.

Exercice 5
Énergie dissipée

Une balle de masse $m = 60$ g est lâchée sans vitesse d'une hauteur $h_1 = 2{,}0$ m au-dessus du sol. Après rebond, elle ne remonte qu'à $h_2 = 1{,}4$ m.

  1. Calculer l'énergie mécanique avant la chute, puis après le rebond (origine des altitudes au sol).
  2. En déduire l'énergie dissipée lors du rebond.
  3. L'énergie mécanique s'est-elle conservée ? Où est passée l'énergie manquante ?

a. Dans les deux cas, la balle est au repos au point le plus haut : $E_c = 0$.

\[ E_{m1} = m\,g\,h_1 = 0{,}060\times 9{,}81\times 2{,}0 = 1{,}18\ \text{J} \]
\[ E_{m2} = m\,g\,h_2 = 0{,}060\times 9{,}81\times 1{,}4 = 0{,}824\ \text{J} \]

b. L'énergie dissipée est la diminution d'énergie mécanique.

\[ \Delta E_m = E_{m2} - E_{m1} = 0{,}824 - 1{,}18 = -0{,}36\ \text{J} \]

Il a donc été dissipé $0{,}36$ J, soit environ 30 % de l'énergie initiale.

c. Interprétation énergétique.

L'énergie mécanique n'est pas conservée : des forces non conservatives sont intervenues (déformation de la balle lors du choc, frottements de l'air).

L'énergie n'a pas disparu pour autant : elle a été convertie en énergie thermique (échauffement de la balle et du sol) et, pour une petite part, en énergie sonore — le bruit du rebond.