Première · Chapitre 6

Trigonométrie

Exercices corrigés — enroulement de la droite numérique, cercle trigonométrique, valeurs remarquables, relation $\cos^2+\sin^2=1$.
Ex. 1 — Vrai / Faux Ex. 2 — Sur quel arc ? Ex. 3 — Valeurs remarquables Ex. 4 — Relation cos²+sin²=1 Ex. 5 — Enroulement et valeurs exactes
Exercice 1
Vrai / Faux

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

  1. Les réels $\dfrac{41\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ ont le même point image par enroulement autour du cercle trigonométrique.
  2. Les réels $\dfrac{11\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$ ont le même point image par enroulement autour du cercle trigonométrique.
  3. La conversion de $120°$ en radians est $\dfrac{2\pi}{3}$.

1. Deux réels ont le même point image si, et seulement si, leur différence est un multiple entier de $2\pi$.

\[ \frac{41\pi}{2}-\frac{\pi}{2} = \frac{40\pi}{2} = 20\pi = 10\times 2\pi \]

$20\pi$ est bien un multiple de $2\pi$. Vrai.

2. On calcule la différence.

\[ \frac{11\pi}{3}-\frac{4\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \]

$\dfrac{7\pi}{3}$ n'est pas un multiple entier de $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$ (le quotient $\dfrac{7}{6}$ n'est pas un entier). Faux.

3. On convertit $120°$ en radians par proportionnalité~: $120\times\dfrac{\pi}{180}$.

\[ 120\times\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \]

Vrai.

Exercice 2
Sur quel arc ?
1 2 3 4 1 -1 1 -1

On considère le cercle trigonométrique ci-dessus, partagé en quatre arcs de même mesure~: l'arc $1$ correspond à $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, l'arc $2$ à $x\in\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$, l'arc $3$ à $x\in\left[\pi\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$, l'arc $4$ à $x\in\left[\dfrac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]$.

Dire sur quel arc se trouve le point image de chacun des réels suivants.

  1. $\dfrac{5\pi}{3}$
  2. $\dfrac{7\pi}{6}$
  3. $\dfrac{13\pi}{4}$
  4. $-\dfrac{\pi}{3}$

a. $\dfrac{5\pi}{3}$ est déjà dans $[0\,;2\pi[$, et $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{4{,}5\pi}{3}<\dfrac{5\pi}{3}<2\pi$.

Le point image de $\dfrac{5\pi}{3}$ est sur l'arc 4.

b. $\dfrac{7\pi}{6}$ vérifie $\pi=\dfrac{6\pi}{6}<\dfrac{7\pi}{6}<\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$.

Le point image de $\dfrac{7\pi}{6}$ est sur l'arc 3.

c. On réduit d'abord modulo $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$~: $\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$, qui vérifie $\pi<\dfrac{5\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{2}$.

Le point image de $\dfrac{13\pi}{4}$ est sur l'arc 3.

d. On ajoute $2\pi$~: $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}$, qui est sur l'arc 4 (voir la question a.).

Le point image de $-\dfrac{\pi}{3}$ est sur l'arc 4.

Exercice 3
Valeurs remarquables

Pour chacun des réels suivants, donner un réel de $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ ayant le même point image (à l'aide de la périodicité), puis en déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus du réel proposé.

  1. $\dfrac{9\pi}{4}$
  2. $-\dfrac{11\pi}{6}$
  3. $\dfrac{19\pi}{3}$
  4. $\dfrac{9\pi}{2}$

a. $\dfrac{9\pi}{4}-2\pi = \dfrac{9\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$.

\[ \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \]

b. $-\dfrac{11\pi}{6}+2\pi = -\dfrac{11\pi}{6}+\dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}$.

\[ \cos\left(-\frac{11\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} \]

c. $\dfrac{19\pi}{3}-3\times 2\pi = \dfrac{19\pi}{3}-\dfrac{18\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$.

\[ \cos\left(\frac{19\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \qquad \sin\left(\frac{19\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

d. $\dfrac{9\pi}{2}-2\times 2\pi = \dfrac{9\pi}{2}-\dfrac{8\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$.

\[ \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \qquad \sin\left(\frac{9\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \]
Exercice 4
Relation cos²+sin²=1

On donne un réel $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\cos(x)=\dfrac{3}{5}$.

  1. Calculer $\sin^2(x)$.
  2. En déduire $\sin(x)$ (on justifiera le signe à l'aide de l'intervalle donné).
  3. Vérifier que $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

a. On utilise $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, donc $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$.

\[ \sin^2(x) = 1-\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

b. Comme $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le point image de $x$ est sur l'arc où l'ordonnée est positive, donc $\sin(x)\geqslant 0$.

\[ \sin(x) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

c. On vérifie.

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \]
Exercice 5
Enroulement et valeurs exactes

Soit $M$ le point image du réel $x=\dfrac{25\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique.

  1. Déterminer un réel de $\left[0\,;2\pi\right[$ ayant le même point image que $x$.
  2. En déduire les valeurs exactes de $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

a. On retranche des multiples de $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$.

\[ \frac{25\pi}{6} = \underbrace{2\times 2\pi}_{=\frac{24\pi}{6}}+\frac{\pi}{6} \]

Le réel $\dfrac{\pi}{6}$, qui appartient à $\left[0\,;2\pi\right[$, a le même point image que $x$.

b. On utilise la périodicité puis les valeurs remarquables.

\[ \cos(x) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad\qquad \sin(x) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]