Première · Physique-chimie · Chapitre 6

Mouvement et forces

Exercices corrigés — vecteur vitesse, vecteur variation de vitesse et lien avec la somme des forces.
Ex. 1 — Vitesse sur chronophotographie Ex. 2 — Construire le vecteur variation de vitesse Ex. 3 — Rôle de la masse Ex. 4 — Mouvement circulaire Ex. 5 — Étude d'un rebond
Relation clé du chapitre : $\sum\vec{F} \approx m\,\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ — le vecteur variation de vitesse a toujours la même direction et le même sens que la somme des forces. Donnée : $g = 9{,}81$ N·kg⁻¹.
Exercice 1
Vitesse sur chronophotographie

Une chronophotographie d'une bille en mouvement comporte des positions $M_1, M_2, \ldots$ enregistrées toutes les $\tau = 60$ ms. Sur le cliché, à l'échelle 1/10, on mesure $M_2M_4 = 7{,}2$ cm et $M_4M_6 = 12{,}0$ cm.

  1. Calculer la valeur du vecteur vitesse en $M_3$.
  2. Calculer la valeur du vecteur vitesse en $M_5$.
  3. Le mouvement est-il uniforme ? Justifier.

a. On tient d'abord compte de l'échelle : une longueur de 7,2 cm sur le cliché correspond à $7{,}2\times 10 = 72$ cm dans la réalité, soit 0,72 m.

\[ v_3 = \frac{M_2M_4}{2\tau} = \frac{0{,}72}{2\times 60\times 10^{-3}} = 6{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

b. Même méthode avec $M_4M_6 = 1{,}20$ m dans la réalité.

\[ v_5 = \frac{M_4M_6}{2\tau} = \frac{1{,}20}{2\times 60\times 10^{-3}} = 10{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

c. Comparaison des vitesses.

La valeur de la vitesse augmente ($6{,}0$ puis $10{,}0$ m·s⁻¹) : le mouvement n'est pas uniforme, il est accéléré. On peut aussi le voir directement sur la chronophotographie : les positions successives s'écartent de plus en plus.

Exercice 2
Construire le vecteur variation de vitesse

Un mobile se déplace sur une trajectoire rectiligne. Aux instants $t_i$ et $t_{i+1}$, séparés de $\Delta t = 0{,}20$ s, ses vecteurs vitesse sont de même direction et de même sens, de valeurs $v_i = 4{,}0$ m·s⁻¹ et $v_{i+1} = 7{,}0$ m·s⁻¹.

  1. Déterminer les caractéristiques du vecteur $\Delta\vec{v}$.
  2. Le mobile a une masse $m = 0{,}50$ kg. Déterminer la somme des forces qui s'exercent sur lui.
  3. Reprendre les deux questions si le mobile freine, en passant de $7{,}0$ à $4{,}0$ m·s⁻¹.

a. On oriente un axe dans le sens du mouvement, ce qui permet de raisonner avec des valeurs algébriques.

\[ \Delta v = v_{i+1} - v_i = 7{,}0 - 4{,}0 = +3{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

$\Delta\vec{v}$ a donc la même direction que le mouvement, le même sens (le résultat est positif) et pour valeur $3{,}0$ m·s⁻¹.

b. On applique la relation approchée.

\[ \sum F \approx m\,\frac{\Delta v}{\Delta t} = 0{,}50\times\frac{3{,}0}{0{,}20} = 7{,}5\ \text{N} \]

Cette somme des forces est dirigée comme $\Delta\vec{v}$, donc dans le sens du mouvement : elle est motrice.

c. Cas du freinage.

\[ \Delta v = 4{,}0 - 7{,}0 = -3{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \qquad\qquad \sum F \approx 0{,}50\times\frac{-3{,}0}{0{,}20} = -7{,}5\ \text{N} \]

La valeur est la même, mais le signe est négatif : $\Delta\vec{v}$ et $\sum\vec{F}$ sont maintenant dirigés dans le sens opposé au mouvement. C'est la signature d'un freinage.

Exercice 3
Rôle de la masse

Deux chariots, de masses $m_1 = 0{,}20$ kg et $m_2 = 0{,}80$ kg, sont soumis à la même force constante de valeur $F = 2{,}0$ N pendant la même durée $\Delta t = 0{,}50$ s, en partant du repos. Les frottements sont négligés.

  1. Calculer la variation de vitesse de chaque chariot.
  2. Comparer les deux résultats et interpréter.
  3. Quelle grandeur physique la masse mesure-t-elle ici ?

a. On isole $\Delta v$ dans la relation approchée.

\[ \Delta v = \frac{\sum F}{m}\times\Delta t \]
\[ \Delta v_1 = \frac{2{,}0}{0{,}20}\times 0{,}50 = 5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \qquad\qquad \Delta v_2 = \frac{2{,}0}{0{,}80}\times 0{,}50 = 1{,}25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

Les chariots partant du repos, ce sont directement les vitesses atteintes.

b. Comparaison.

La masse $m_2$ est 4 fois plus grande que $m_1$, et la variation de vitesse est 4 fois plus petite : à force et durée identiques, $\Delta v$ est inversement proportionnelle à la masse.

c. Interprétation.

La masse mesure l'inertie du système, c'est-à-dire sa résistance au changement de vitesse. Plus un système est massif, plus il est difficile de le mettre en mouvement — et plus il est difficile de l'arrêter.

Exercice 4
Mouvement circulaire

Une bille de masse $m = 0{,}15$ kg, attachée à un fil, décrit un cercle horizontal à vitesse constante $v = 3{,}0$ m·s⁻¹.

  1. La valeur de la vitesse est constante. Le vecteur vitesse l'est-il ?
  2. Quelle est la direction et le sens du vecteur $\Delta\vec{v}$ ?
  3. En déduire la direction et le sens de la somme des forces exercées sur la bille dans le plan du mouvement.

a. Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une valeur.

La valeur est constante, mais la direction change en permanence puisque le vecteur vitesse reste tangent au cercle. Le vecteur vitesse n'est donc pas constant.

b. Construction de $\Delta\vec{v}$.

En reportant $\vec{v_i}$ et $\vec{v_{i+1}}$ (de même longueur) à partir d'une origine commune, le vecteur qui joint leurs extrémités est dirigé vers l'intérieur du cercle. Lorsque les deux instants sont très voisins, $\Delta\vec{v}$ est dirigé vers le centre du cercle et perpendiculairement à $\vec{v}$.

c. Somme des forces.

Comme $\sum\vec{F} \approx m\,\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$, la somme des forces a la même direction et le même sens que $\Delta\vec{v}$ : elle est donc dirigée vers le centre du cercle. C'est la tension du fil qui joue ce rôle.

💡 À retenir : une force perpendiculaire à la vitesse fait tourner le système sans modifier la valeur de sa vitesse.

Exercice 5
Étude d'un rebond

Une balle de tennis de masse $m = 58$ g arrive perpendiculairement sur un mur à la vitesse $v_i = 25$ m·s⁻¹ et repart en sens inverse à $v_{i+1} = 18$ m·s⁻¹. Le contact avec le mur dure $\Delta t = 5{,}0$ ms.

  1. Déterminer la valeur du vecteur variation de vitesse.
  2. En déduire la valeur de la force exercée par le mur sur la balle.
  3. Comparer au poids de la balle et conclure.

a. On oriente un axe dans le sens de la vitesse de départ (après rebond) : la vitesse d'arrivée est alors négative.

\[ \Delta v = v_{i+1} - v_i = 18 - (-25) = 43\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

⚠ Erreur fréquente : écrire $18 - 25 = -7$. Les deux vitesses étant de sens opposés, leurs valeurs algébriques sont de signes contraires.

b. On applique la relation approchée.

\[ \sum F \approx m\,\frac{\Delta v}{\Delta t} = 58\times 10^{-3}\times\frac{43}{5{,}0\times 10^{-3}} = 5{,}0\times 10^{2}\ \text{N} \]

c. Comparaison avec le poids.

\[ P = m\,g = 58\times 10^{-3}\times 9{,}81 = 0{,}57\ \text{N} \qquad\qquad \frac{\sum F}{P} \approx 8{,}8\times 10^{2} \]

La force exercée par le mur est près de 900 fois plus grande que le poids : pendant le contact, le poids est totalement négligeable, et la somme des forces se réduit pratiquement à l'action du mur.