Première · Chapitre 5

Fonction exponentielle

Exercices corrigés — propriétés algébriques, vrai/faux, résolution d'équations et d'inéquations.
Ex. 1 — Transformer une expression Ex. 2 — Démontrer une égalité Ex. 3 — Vrai / Faux Ex. 4 — Résoudre une équation Ex. 5 — Résoudre une inéquation
Exercice 1
Transformer une expression

Écrire les expressions suivantes sous la forme $e^{k(x)}$, où $k(x)$ est une expression à préciser.

  1. $A(x) = e^{3x}\times e^{x-2}$
  2. $B(x) = \dfrac{e^{5x+1}}{e^{2x-4}}$
  3. $C(x) = \left(e^{2x}\right)^3\times e^{-x}$

a. On utilise $e^{a}\times e^{b}=e^{a+b}$.

\[ A(x) = e^{3x+(x-2)} = e^{4x-2} \]

b. On utilise $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$.

\[ B(x) = e^{(5x+1)-(2x-4)} = e^{3x+5} \]

c. On utilise $\left(e^a\right)^n=e^{na}$ puis $e^a\times e^b=e^{a+b}$.

\[ C(x) = e^{6x}\times e^{-x} = e^{5x} \]
Exercice 2
Démontrer une égalité

Montrer que, pour tout réel $x$~:

\[ \left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2 = 4 \]

On développe chacun des deux carrés à l'aide des identités remarquables, en utilisant $e^x\times e^{-x}=e^0=1$.

\[ \left(e^x+e^{-x}\right)^2 = e^{2x}+2\,e^x e^{-x}+e^{-2x} = e^{2x}+2+e^{-2x} \]
\[ \left(e^x-e^{-x}\right)^2 = e^{2x}-2\,e^x e^{-x}+e^{-2x} = e^{2x}-2+e^{-2x} \]

En soustrayant, tous les termes en $e^{2x}$ et $e^{-2x}$ s'éliminent~:

\[ \left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right) = 4 \]
Exercice 3
Vrai / Faux

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

  1. Pour tout réel $x$, $e^{2x}=\left(e^x\right)^2$.
  2. Pour tout réel $a$, $e^{-a}\times e^{a}=0$.
  3. Pour tout réel $b$, $e^{2b}-1=\left(e^b-1\right)\left(e^b+1\right)$.

1. C'est la propriété $e^{na}=(e^a)^n$ avec $n=2$.

Vrai.

2. On calcule $e^{-a}\times e^a = e^{-a+a}=e^0=1$, jamais $0$ (l'exponentielle ne s'annule jamais).

Faux.

3. On reconnaît l'identité remarquable $X^2-1=(X-1)(X+1)$ avec $X=e^b$, et $\left(e^b\right)^2=e^{2b}$.

Vrai.

Exercice 4
Résoudre une équation

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

  1. $e^{4x-1}=e^{x+8}$
  2. $e^{2x}\times e^{-3}=e^{x+1}$
  3. $\left(e^x-1\right)\left(e^x+5\right)=0$

a. On utilise $e^a=e^b\iff a=b$.

\[ 4x-1=x+8 \iff 3x=9 \iff x=3 \qquad S=\{3\} \]

b. On simplifie d'abord le membre de gauche~: $e^{2x}\times e^{-3}=e^{2x-3}$.

\[ e^{2x-3}=e^{x+1} \iff 2x-3=x+1 \iff x=4 \qquad S=\{4\} \]

c. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul.

$e^x-1=0 \iff e^x=1=e^0 \iff x=0$. \quad $e^x+5=0 \iff e^x=-5$, impossible car $e^x>0$ pour tout $x$.

\[ S=\{0\} \]
Exercice 5
Résoudre une inéquation
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{3-2x}>e^{x+9}$.
  2. En déduire le signe de $e^{3-2x}-e^{x+9}$ sur $\mathbb{R}$.

1. On utilise $e^a>e^b\iff a>b$ (l'exponentielle étant strictement croissante).

\[ e^{3-2x}>e^{x+9} \iff 3-2x>x+9 \iff -3x>6 \iff x<-2 \]

$S=\left]-\infty\,;-2\right[$.

2. Le signe de $e^{3-2x}-e^{x+9}$ correspond directement à la question précédente~: cette expression est positive lorsque $e^{3-2x}>e^{x+9}$, c'est-à-dire pour $x<-2$, nulle en $x=-2$ (les deux exposants valent alors $7$), et négative pour $x>-2$.