Soit $f$ la fonction définie sur $[-1\,;3]$ par $f(x)=-x^3+3x^2$. On admet que $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$.
a. $f'(x)=-3x(x-2)$ s'annule en $0$ et $2$. Le coefficient devant $x^2$ dans $-3x(x-2)=-3x^2+6x$ est négatif, donc ce polynôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
$f'(x)<0$ sur $[-1\,;0[$, $f'(x)>0$ sur $]0\,;2[$, $f'(x)<0$ sur $]2\,;3]$.
b. $f$ est donc décroissante sur $[-1\,;0]$, croissante sur $[0\,;2]$, décroissante sur $[2\,;3]$.
La courbe ci-dessus représente une fonction $f$ dérivable sur $[0\,;6]$. On lit que $f$ admet un maximum local au point $A$ d'abscisse $1$ et un minimum local au point $B$ d'abscisse $4$, et que $f$ est croissante sur $[0\,;1]$, décroissante sur $[1\,;4]$, puis croissante sur $[4\,;6]$.
a. Le signe de $f'$ se déduit directement des variations lues sur le graphique.
$f'(x)>0$ sur $[0\,;1[$ (car $f$ croissante), $f'(x)<0$ sur $]1\,;4[$ (car $f$ décroissante), $f'(x)>0$ sur $]4\,;6]$ (car $f$ croissante).
b. $A$ et $B$ sont des extremums locaux de $f$, obtenus en un point intérieur à l'intervalle où $f$ est dérivable.
$f'(1)=0$ et $f'(4)=0$ (la tangente à la courbe est horizontale en ces deux points).
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+3$ et $g(x)=4x$.
Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb{R}$.
On étudie le signe de $h(x)=f(x)-g(x)$.
$h(x)$ est un polynôme du second degré de racines $1$ et $3$, positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines (coefficient dominant positif).
$\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $\left]-\infty\,;1\right]\cup\left[3\,;+\infty\right[$, en dessous sur $\left[1\,;3\right]$, et les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $1$ et $3$.
Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;4]$ par $g(x)=x^3-6x^2+9x$. On admet que $g'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
a. $g'(x)=3(x-1)(x-3)$ s'annule en $1$ et $3$, positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
$g$ est croissante sur $[0\,;1]$, décroissante sur $[1\,;3]$, croissante sur $[3\,;4]$.
b. Le minimum de $g$ sur $[0\,;4]$ est atteint aux points les plus bas du tableau de variations, c'est-à-dire en $x=0$ et en $x=3$.
Ce minimum vaut $0$ (positif ou nul), donc $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in[0\,;4]$, avec égalité en $x=0$ et $x=3$.
Soit $h$ la fonction définie sur $[-3\,;5]$ par $h(x)=x^3-3x^2-9x+5$. On admet que $h'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$.
a. $h'(x)=3(x-3)(x+1)$ s'annule en $-1$ et $3$, positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
$h'(x)>0$ sur $[-3\,;-1[$, $h'(x)<0$ sur $]-1\,;3[$, $h'(x)>0$ sur $]3\,;5]$.
b. $h'$ s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $3$ : $h$ admet donc un extremum local en chacun de ces points.
En $x=-1$ : $h'$ passe de $+$ à $-$, c'est un maximum local, $h(-1)=10$.
En $x=3$ : $h'$ passe de $-$ à $+$, c'est un minimum local, $h(3)=-22$.