Première · Physique-chimie · Chapitre 4

Interactions et champs

Exercices corrigés — gravitation, loi de Coulomb, champ de gravitation et champ électrostatique.
Ex. 1 — Loi de gravitation Ex. 2 — Champ de gravitation Ex. 3 — Loi de Coulomb Ex. 4 — Force et champ électrostatique Ex. 5 — Lire une carte de champ
Données : $G = 6{,}67\times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻² ; $k = 8{,}99\times 10^{9}$ N·m²·C⁻² ; $e = 1{,}60\times 10^{-19}$ C ; $g_{\text{Terre}} = 9{,}81$ N·kg⁻¹ ; $M_T = 5{,}97\times 10^{24}$ kg ; $R_T = 6{,}37\times 10^{6}$ m.
Exercice 1
Loi de gravitation

La Lune, de masse $m_L = 7{,}35\times 10^{22}$ kg, gravite autour de la Terre à une distance moyenne $d = 3{,}84\times 10^{8}$ m de son centre.

  1. Calculer la valeur de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune.
  2. Que vaut la force exercée par la Lune sur la Terre ? Justifier.
  3. Représenter les deux forces sur un schéma.

a. On applique la loi de gravitation universelle.

\[ F = G\,\frac{M_T\,m_L}{d^2} = \frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}97\times 10^{24}\times 7{,}35\times 10^{22}}{(3{,}84\times 10^{8})^2} \]
\[ F = 1{,}98\times 10^{20}\ \text{N} \]

b. Principe des actions réciproques.

Les deux forces sont opposées : même direction, sens contraires et même valeur.

\[ \vec{F}_{L/T} = -\,\vec{F}_{T/L} \qquad\text{donc}\qquad F_{L/T} = 1{,}98\times 10^{20}\ \text{N} \]

C'est vrai malgré l'énorme différence de masse entre les deux astres : ce sont bien les mêmes masses qui interviennent dans la formule.

c. Schéma.

Les deux vecteurs sont portés par la droite reliant les centres des deux astres, chacun appliqué au centre d'un astre et dirigé vers l'autre astre (forces attractives), avec la même longueur.

Exercice 2
Champ de gravitation

Un satellite de masse $m = 1{,}2\times 10^{3}$ kg est en orbite à l'altitude $h = 400$ km au-dessus de la surface de la Terre.

  1. Calculer la valeur du champ de gravitation terrestre à cette altitude.
  2. En déduire la valeur de la force exercée par la Terre sur le satellite.
  3. Comparer à la valeur obtenue au sol. Commenter l'expression « en apesanteur » souvent employée à propos des astronautes.

a. La distance à prendre est mesurée depuis le centre de la Terre : $d = R_T + h$.

\[ d = 6{,}37\times 10^{6} + 4{,}00\times 10^{5} = 6{,}77\times 10^{6}\ \text{m} \]
\[ \mathcal{G} = G\,\frac{M_T}{d^2} = \frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}97\times 10^{24}}{(6{,}77\times 10^{6})^2} = 8{,}69\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} \]

b. La force se déduit du champ par $F = m\,\mathcal{G}$.

\[ F = 1{,}2\times 10^{3}\times 8{,}69 = 1{,}0\times 10^{4}\ \text{N} \]

c. Comparaison avec le sol.

Au sol, $\mathcal{G} = 9{,}81$ N·kg⁻¹ : le champ n'a diminué que de 11 % environ. La force de gravitation reste donc quasiment identique à celle subie au sol.

L'expression « en apesanteur » est donc trompeuse : les astronautes ne flottent pas parce que la gravitation aurait disparu, mais parce qu'ils sont en chute libre permanente avec la station, qui tombe autour de la Terre.

Exercice 3
Loi de Coulomb

Dans un cristal de chlorure de sodium, un ion $\text{Na}^+$ et un ion $\text{Cl}^-$ voisins sont séparés d'une distance $d = 2{,}82\times 10^{-10}$ m.

  1. Calculer la valeur de la force électrostatique entre ces deux ions.
  2. Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Justifier.
  3. Calculer la force gravitationnelle entre ces deux ions ($m(\text{Na}^+) = 3{,}8\times 10^{-26}$ kg et $m(\text{Cl}^-) = 5{,}9\times 10^{-26}$ kg) et comparer.

a. Chaque ion porte une charge de valeur $e$ en valeur absolue.

\[ F = k\,\frac{|q_1|\times|q_2|}{d^2} = \frac{8{,}99\times 10^{9}\times (1{,}60\times 10^{-19})^2}{(2{,}82\times 10^{-10})^2} = 2{,}89\times 10^{-9}\ \text{N} \]

b. On regarde le signe des charges.

$\text{Na}^+$ porte une charge positive et $\text{Cl}^-$ une charge négative : les charges sont de signes contraires, la force est donc attractive. C'est elle qui assure la cohésion du cristal ionique.

c. Comparaison des deux interactions.

\[ F_g = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2} = \frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 3{,}8\times 10^{-26}\times 5{,}9\times 10^{-26}}{(2{,}82\times 10^{-10})^2} = 1{,}9\times 10^{-42}\ \text{N} \]
\[ \frac{F_e}{F_g} = \frac{2{,}89\times 10^{-9}}{1{,}9\times 10^{-42}} \approx 1{,}5\times 10^{33} \]

L'interaction électrostatique est plus de $10^{33}$ fois plus intense : à l'échelle atomique, la gravitation est totalement négligeable.

Exercice 4
Force et champ électrostatique

Entre deux plaques planes parallèles règne un champ électrostatique uniforme de valeur $E = 5{,}0\times 10^{3}$ V·m⁻¹, dirigé de la plaque positive (à gauche) vers la plaque négative (à droite).

  1. Un proton est placé entre les plaques. Déterminer la direction, le sens et la valeur de la force qu'il subit.
  2. Même question pour un électron.
  3. Comparer cette force au poids de l'électron ($m_e = 9{,}11\times 10^{-31}$ kg). Conclure.

a. On applique $\vec{F} = q\,\vec{E}$ avec $q = +e > 0$.

La charge étant positive, $\vec{F}$ a la même direction et le même sens que $\vec{E}$ : la force est horizontale, dirigée vers la plaque négative (vers la droite).

\[ F = e\times E = 1{,}60\times 10^{-19}\times 5{,}0\times 10^{3} = 8{,}0\times 10^{-16}\ \text{N} \]

b. Pour l'électron, $q = -e < 0$.

La charge étant négative, $\vec{F}$ est de sens opposé à $\vec{E}$ : la force est dirigée vers la plaque positive (vers la gauche). Sa valeur est identique, car $|q|$ est la même :

\[ F = 8{,}0\times 10^{-16}\ \text{N} \]

c. On calcule le poids de l'électron.

\[ P = m_e\,g = 9{,}11\times 10^{-31}\times 9{,}81 = 8{,}94\times 10^{-30}\ \text{N} \qquad\qquad \frac{F}{P} \approx 9\times 10^{13} \]

La force électrostatique est environ $10^{14}$ fois plus grande que le poids : dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique, on néglige systématiquement le poids.

Exercice 5
Lire une carte de champ

On observe une carte de lignes de champ électrostatique créée par deux charges ponctuelles A et B. Les lignes partent de A et arrivent sur B, et elles sont plus resserrées au voisinage de A qu'au voisinage de B.

  1. Quels sont les signes des charges $q_A$ et $q_B$ ? Justifier.
  2. Où le champ est-il le plus intense ? Justifier.
  3. Comment obtient-on la direction et le sens du vecteur champ en un point M de la carte ?

a. Sens de parcours des lignes de champ.

Par convention, les lignes de champ électrostatique partent des charges positives et arrivent sur les charges négatives. Comme les lignes partent de A et arrivent sur B :

$q_A > 0$ (charge positive) et $q_B < 0$ (charge négative).

b. Densité des lignes.

Le champ est d'autant plus intense que les lignes de champ sont resserrées. Il est donc plus intense au voisinage de A.

c. Construction du vecteur champ en M.

Le vecteur $\vec{E}$ en M est tangent à la ligne de champ passant par M, et orienté dans le sens de parcours de cette ligne (ici de A vers B).

⚠ Une ligne de champ n'est pas une trajectoire : une charge lâchée en M ne suit pas nécessairement la ligne de champ.