Première · Chapitre 3

Dérivation — point de vue local et global

Exercices corrigés — taux de variation, nombre dérivé, interprétations, tangente à une courbe, approximation affine.
Ex. 1 — Taux de variation et nombre dérivé Ex. 2 — Vitesse instantanée Ex. 3 — Équation d'une tangente Ex. 4 — Approximation affine Ex. 5 — Coût marginal
Exercice 1
Taux de variation et nombre dérivé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x$.

  1. Calculer le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ (avec $h\neq 0$), en simplifiant l'expression obtenue de façon à ce qu'elle ne comporte plus de quotient.
  2. En déduire la limite de ce taux de variation lorsque $h$ tend vers $0$, puis la valeur de $f'(2)$.

a. On calcule $f(2)$ et $f(2+h)$, puis on forme le quotient.

\[ f(2) = 4-6 = -2 \qquad\qquad f(2+h) = (2+h)^2-3(2+h) = h^2+h-2 \]
\[ \tau(h) = \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{(h^2+h-2)-(-2)}{h} = \frac{h^2+h}{h} = h+1 \]

b. On fait tendre $h$ vers $0$ dans l'expression simplifiée.

\[ \lim_{h\to 0}(h+1) = 1 \]

$f$ est donc dérivable en $2$, et $f'(2)=1$.

Exercice 2
Vitesse instantanée

Un mobile se déplace sur un axe gradué. Sa position, en mètres, à l'instant $t$ (en secondes) est donnée par $x(t) = t^2+2t$.

  1. Calculer le taux de variation de $x$ entre les instants $3$ et $3+h$ (avec $h\neq 0$).
  2. En déduire la vitesse instantanée du mobile à l'instant $t=3$.

a. On calcule $x(3)$ et $x(3+h)$.

\[ x(3) = 9+6 = 15 \qquad\qquad x(3+h) = (3+h)^2+2(3+h) = h^2+8h+15 \]
\[ \tau(h) = \frac{x(3+h)-x(3)}{h} = \frac{h^2+8h}{h} = h+8 \]

b. La vitesse instantanée à l'instant $3$ est le nombre dérivé $x'(3)$, limite du taux de variation quand $h\to 0$.

\[ x'(3) = \lim_{h\to 0}(h+8) = 8 \]

La vitesse instantanée du mobile à l'instant $t=3\text{ s}$ est de $8\text{ m/s}$.

Exercice 3
Équation d'une tangente

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3$. On admet que, pour tout réel $x$, $g'(x)=3x^2$.

  1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $1$.
  2. La droite $T$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel point ?

a. On calcule $g(1)$ et $g'(1)$, puis on applique $y=g(1)+g'(1)(x-1)$.

\[ g(1) = 1 \qquad\qquad g'(1) = 3\times 1^2 = 3 \]
\[ T~:\ y = 1+3(x-1) = 3x-2 \]

b. On résout $3x-2=0$.

\[ x = \frac{2}{3} \]

$T$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;0\right)$.

Exercice 4
Approximation affine

On donne $f(5)=12$ et $f'(5)=-2$.

  1. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $5$.
  2. À l'aide d'une approximation affine, donner une valeur approchée de $f(5{,}1)$ puis de $f(4{,}8)$.

a. On applique $y=f(5)+f'(5)(x-5)$.

\[ y = 12-2(x-5) \]

b. On utilise $f(5+h)\approx f(5)+h\,f'(5)$, avec $h=0{,}1$ puis $h=-0{,}2$.

\[ f(5{,}1) \approx 12+0{,}1\times(-2) = 12-0{,}2 = 11{,}8 \]
\[ f(4{,}8) \approx 12+(-0{,}2)\times(-2) = 12+0{,}4 = 12{,}4 \]
Exercice 5
Coût marginal (SES)

Une entreprise modélise le coût total de production de $n$ objets, en euros, par une fonction $C$ dérivable telle que $C(100)=8\,000$ et $C'(100)=45$.

  1. Interpréter concrètement, dans le contexte de l'énoncé, la valeur $C'(100)=45$.
  2. À l'aide d'une approximation affine, estimer le coût de production de $101$ objets, puis de $105$ objets.

a. $C'(100)$ est le nombre dérivé de $C$ en $100$ : il donne une approximation du coût marginal.

Produire un $101^{\text{e}}$ objet coûte environ $45$ € de plus que produire $100$ objets.

b. On applique $C(100+h)\approx C(100)+h\,C'(100)$, avec $h=1$ puis $h=5$.

\[ C(101) \approx 8\,000+1\times 45 = 8\,045 \text{ €} \]
\[ C(105) \approx 8\,000+5\times 45 = 8\,225 \text{ €} \]