Première · Chapitre 2

Suites numériques

Exercices corrigés — modes de définition, suites arithmétiques, suites géométriques, sommes de termes, limite d'une suite géométrique.
Ex. 1 — Définir une suite Ex. 2 — Suite arithmétique Ex. 3 — Suite géométrique Ex. 4 — Limite d'une suite géométrique Ex. 5 — Modéliser par une suite
Exercice 1
Définir une suite
  1. La suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{n^2+1}{2n+3}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ est-elle définie de manière explicite ou par récurrence ?
  2. La suite $(v_n)$ définie par $v_0=5$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=v_n^2-2$ est-elle définie de manière explicite ou par récurrence ? Calculer $v_1$ et $v_2$.

a. Le terme $u_n$ se calcule directement à partir de $n$, sans passer par un terme précédent.

$(u_n)$ est définie de manière explicite.

b. Le terme $v_{n+1}$ se calcule à partir du terme précédent $v_n$.

$(v_n)$ est définie par récurrence.

\[ v_1 = 5^2-2 = 23 \qquad\qquad v_2 = 23^2-2 = 529-2 = 527 \]
Exercice 2
Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=7$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n-4$.

  1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_{20}$.

a. On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n$.

\[ u_{n+1}-u_n = (u_n-4)-u_n = -4 \]

Cette différence est constante, donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=-4$.

b. On applique la formule $u_n=u_0+nr$.

\[ u_n = 7-4n \]

c. On calcule d'abord $u_{20}$, puis on utilise la formule de la somme ($21$ termes de $u_0$ à $u_{20}$).

\[ u_{20} = 7-4\times 20 = -73 \]
\[ S = \frac{21}{2}\times\big(u_0+u_{20}\big) = \frac{21}{2}\times(7-73) = \frac{21}{2}\times(-66) = -693 \]
Exercice 3
Suite géométrique

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=2$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=3v_n$.

  1. Justifier que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
  2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  3. Calculer la somme $S=v_0+v_1+\cdots+v_8$.

a. Tous les termes sont non nuls ($v_0=2\neq 0$ et on multiplie à chaque étape par $3$). On calcule le quotient $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$.

\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3v_n}{v_n} = 3 \]

Ce quotient est constant, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q=3$.

b. On applique la formule $v_n=v_0\times q^n$.

\[ v_n = 2\times 3^n \]

c. On applique la formule de la somme des $9$ premiers termes ($v_0$ à $v_8$).

\[ S = v_0\times\frac{1-q^{9}}{1-q} = 2\times\frac{1-3^9}{1-3} = 2\times\frac{1-19\,683}{-2} = 19\,682 \]
Exercice 4
Limite d'une suite géométrique

Pour chacune des valeurs de raison $q$ suivantes, déterminer si la suite géométrique $(q^n)$ converge et, si oui, préciser sa limite.

  1. $q=0{,}9$
  2. $q=1{,}5$
  3. $q=-0{,}5$
  4. $q=-2$

a. $-1<0{,}9<1$, donc $(0{,}9)^n$ converge vers $0$.

b. $1{,}5>1$, donc $(1{,}5)^n$ diverge vers $+\infty$.

c. $-1<-0{,}5<1$, donc $(-0{,}5)^n$ converge vers $0$.

d. $-2\leqslant -1$, donc $(-2)^n$ n'admet pas de limite (elle oscille en changeant de signe et en valeur absolue de plus en plus grande).

Exercice 5
Modéliser par une suite

Un club de tir à l'arc compte $500$ licenciés la première année. Chaque année, $20\,\%$ des licenciés ne renouvellent pas leur adhésion, mais $60$ nouveaux licenciés s'inscrivent. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de licenciés du club l'année $n$, avec $u_0=500$.

  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  2. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  3. Le nombre de licenciés augmente-t-il nécessairement d'une année sur l'autre ? Justifier en comparant $u_0$ et $u_1$.

a. Perdre $20\,\%$ des licenciés, c'est en conserver $80\,\%$, soit un facteur $0{,}8$ ; on ajoute ensuite les $60$ nouvelles inscriptions.

\[ u_{n+1} = 0{,}8\,u_n+60 \]

b. On applique la relation de récurrence.

\[ u_1 = 0{,}8\times 500+60 = 400+60 = 460 \qquad\qquad u_2 = 0{,}8\times 460+60 = 368+60 = 428 \]

c. On compare $u_1$ à $u_0$.

$u_1=460diminue la première année, malgré les $60$ nouvelles inscriptions. La suite $(u_n)$ n'est donc pas croissante : les nouvelles inscriptions ne compensent pas les $20\,\%$ de départs.