Première · Chapitre 1

Second degré

Exercices corrigés — forme canonique, équations du second degré, discriminant, variations et signe d'un polynôme.
Ex. 1 — Forme canonique Ex. 2 — Équations du second degré Ex. 3 — Discriminant et paramètre Ex. 4 — Variations et extremum Ex. 5 — Signe d'un polynôme
Exercice 1
Forme canonique

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2-12x+7$.

  1. Écrire $f(x)$ sous forme canonique.
  2. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f$.

a. On calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ puis $\beta = f(\alpha)$, avec $a=3$, $b=-12$, $c=7$.

\[ \alpha = -\frac{-12}{2\times 3} = 2 \qquad\qquad \beta = f(2) = 3\times 2^2-12\times 2+7 = 12-24+7 = -5 \]
\[ f(x) = 3(x-2)^2-5 \]

b. Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha\,;\beta)$.

\[ S(2\,;-5) \]
Exercice 2
Équations du second degré

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

  1. $2x^2-3x-2=0$
  2. $x^2-6x+9=0$
  3. $x^2+x+1=0$

a. On calcule le discriminant~: $\Delta = (-3)^2-4\times 2\times(-2) = 9+16 = 25 > 0$ : deux solutions.

\[ x_1 = \frac{3-\sqrt{25}}{4} = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2} \qquad\qquad x_2 = \frac{3+\sqrt{25}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2 \]

$S = \left\{-\dfrac{1}{2}\,;\,2\right\}$

b. $\Delta = (-6)^2-4\times 1\times 9 = 36-36 = 0$ : une solution (racine double).

\[ x_0 = -\frac{-6}{2\times 1} = 3 \qquad\qquad S = \{3\} \]

c. $\Delta = 1^2-4\times 1\times 1 = 1-4 = -3 < 0$ : aucune solution réelle.

$S = \varnothing$

Exercice 3
Discriminant et paramètre

Soit $m$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2-4x+m$.

  1. Exprimer le discriminant $\Delta$ de $f$ en fonction de $m$.
  2. Déterminer, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.

a. Ici $a=1$, $b=-4$ et $c=m$.

\[ \Delta = (-4)^2-4\times 1\times m = 16-4m \]

b. On étudie le signe de $\Delta = 16-4m$ : $\Delta > 0 \iff 16-4m>0 \iff m<4$.

  • si $m<4$ : $\Delta>0$, l'équation a deux solutions distinctes ;
  • si $m=4$ : $\Delta=0$, l'équation a une seule solution $x_0=2$ ;
  • si $m>4$ : $\Delta<0$, l'équation n'a pas de solution réelle.
Exercice 4
Variations et extremum

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -2x^2+8x-3$.

  1. Déterminer les variations de $g$.
  2. En déduire l'extremum de $g$ ainsi que la valeur en laquelle il est atteint.

a. On a $a=-2<0$, donc la parabole est tournée vers le bas. On calcule l'abscisse du sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

\[ \alpha = -\frac{8}{2\times(-2)} = 2 \]

Comme $a<0$, $g$ est croissante sur $\left]-\infty\,;2\right]$ puis décroissante sur $\left[2\,;+\infty\right[$.

b. On calcule $\beta = g(2)$.

\[ g(2) = -2\times 2^2+8\times 2-3 = -8+16-3 = 5 \]

$g$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x=2$.

Exercice 5
Signe d'un polynôme

Étudier, selon les valeurs de $x$, le signe de $h(x) = -x^2+5x-4$.

On calcule le discriminant~: $a=-1$, $b=5$, $c=-4$.

\[ \Delta = 5^2-4\times(-1)\times(-4) = 25-16 = 9 > 0 \]

$\Delta>0$ : deux racines distinctes.

\[ x_1 = \frac{-5-\sqrt{9}}{-2} = \frac{-5-3}{-2} = 4 \qquad\qquad x_2 = \frac{-5+\sqrt{9}}{-2} = \frac{-5+3}{-2} = 1 \]

Les racines rangées dans l'ordre croissant sont donc $1$ et $4$. Comme $a=-1< 0$, $h(x)$ est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines, et du signe de $-a$ (positif) entre les racines :

\[ h(x)<0 \ \text{ sur } \ \left]-\infty\,;1\right[\cup\left]4\,;+\infty\right[ \qquad\qquad h(x)>0 \ \text{ sur } \ \left]1\,;4\right[ \]

et $h(1)=h(4)=0$.